Completare il cubo!!! (Pagina 1) / Formulas / Math Is Fun Forum
Ciao anonimnystefy;
Ho copiato il file di testo che hai richiesto. Bracketing incoerente e una parentesi mancata rendono questo sospetto. Ho provato a ripulirlo, ma ho potuto solo indovinare dove dovrebbe andare la staffa mancante.
Un altro metodo per risolvere un’equazione polinomiale cubica presentata indipendentemente da Paul A. Torres e Robert A. Warren. Si basa sull’idea di “completare il cubo”, disponendo le cose in modo che tre dei quattro termini siano tre dei quattro termini di un cubo perfetto.
Inizia con l’equazione cubica
Se
allora i primi tre termini sono i primi tre termini di un cubo perfetto, vale a dire
Allora puoi “completare il cubo” sottraendo c da entrambi i lati e aggiungendo il termine mancante del cubo
su entrambi i lati. Ricordando che
ottieni:
Prendendo la radice cubica del lato sinistro e le tre radici cubiche del lato destro, ottieni:
Queste sono le radici dell’equazione cubica che sono state cercate.
Se
procedere come segue. Imposta x = y + z, dove y è un indeterminato e z è una funzione di a, b e c, che si trova di seguito. Quindi:
dove
I primi tre termini di questa equazione in y saranno quelli di un cubo perfetto iff
che succede iff
che non può accadere in questo caso, quindi apparentemente non abbiamo guadagnato nulla. Tuttavia, gli ultimi tre termini di questa equazione in y saranno quelli di un cubo perfetto iff
cioè iff
dove
Poiché
quindi
e abbiamo una vera equazione quadratica, chiamata quadratica risolutiva. Ora scegliamo z come radice di questa equazione quadratica.
Se
allora qualsiasi radice del GCD è anche una radice dell’equazione cubica originale in x. Una volta che hai almeno una radice, il problema di trovare le altre radici è ridotto a risolvere un’equazione quadratica o lineare.
Se
allora nessuno dei due valori di z può fare f = 0, quindi possiamo supporre d’ora in poi che f sia diverso da zero. O la radice z del quadratico lo farà, ma dobbiamo sceglierne uno. Scegliamo arbitrariamente quello con un segno più davanti al radicale:
Imposta z uguale a questo valore nell’equazione per y e dividerlo per f su entrambi i lati. Quindi gli ultimi tre termini del cubo in y sono quelli di un cubo perfetto, vale a dire:
quindi possiamo completare il cubo per risolverlo. Lo facciamo sottraendo
da entrambi i lati, quindi aggiungendo il termine mancante del cubo,
su entrambi i lati, ottenendo
Ora hai i valori di y. Aggiungi z a ciascuno per ottenere i valori di x:
Queste sono le radici dell’equazione cubica che sono state cercate.
Esempio:
Abbiamo a = 6, b = 9, c = 6.
Quindi
Il risolutore quadratico è
il cubo in y è
Quindi una radice è
Dopo molta semplificazione, ottieni
E altre due radici che non fornisce. Ho controllato quello che ha dato ed è corretto.
