Continuando dall’ultima volta, considera il numero (normale, decimale)
con un numero infinito di 3 dopo il punto decimale. Ora, probabilmente sai che questo rappresenta 
. Ma perché? Come definiamo cosa significa una sequenza così infinita di cifre?
La risposta standard è che pensiamo al numero decimale infinito 
come una scorciatoia per il limite della sequenza
Cioè, la sequenza di numeri razionali 
, 
e così via, si avvicina infinitamente a qualche numero, vale a dire , che è preso come significato della sequenza. (Sto agitando un po ‘ le mani qui; questo di solito è reso più preciso attraverso la nozione di una sequenza di Cauchy. Ma l’intuizione è la stessa.)
Ora, nel paragrafo precedente ho detto che i numeri , , si avvicinano infinitamente a qualche numero. Cosa intendiamo per “vicino”? Potresti pensare che questa sia una domanda stupida e ovvia. Ma si scopre che cose interessanti accadono se diamo una risposta diversa dal solito.
Innanzitutto, pensiamo a cosa significa “vicino a” nel contesto dei soliti numeri reali. La distanza tra due numeri 
e 
è definita come 
, dove 
indica il valore assoluto usuale di un numero. Possiamo pensare alla funzione del valore assoluto come all’assegnazione di una dimensione a ciascun numero: 42 e -42 hanno entrambi la stessa dimensione, vale a dire 42. Quindi la distanza tra due numeri è la dimensione della loro differenza.
Il nome del gioco ora sarà quello di definire una funzione di dimensioni diverse, che scriveremo 
. L’utilizzo di questa funzione di dimensione ci darà un significato diverso di” vicino a”: due numeri e saranno “vicini” l’uno all’altro quando 
è piccolo.
