Relazione di congruenza

La definizione di congruenza dipende dal tipo di struttura algebrica in esame. Definizioni particolari di congruenza possono essere fatte per gruppi, anelli, spazi vettoriali, moduli, semigruppi, reticoli e così via. Il tema comune è che una congruenza è una relazione di equivalenza su un oggetto algebrico che è compatibile con la struttura algebrica, nel senso che le operazioni sono ben definite sulle classi di equivalenza.

Ad esempio, un gruppo è un oggetto algebrico costituito da un insieme insieme a una singola operazione binaria, che soddisfa determinati assiomi. Se G {\displaystyle G}

è un gruppo con l’operazione ∗ {\displaystyle \ast }

, una congruenza relazione sulla G {\displaystyle G}

è una relazione di equivalenza ≡ {\displaystyle \equiv }

gli elementi di G {\displaystyle G}

soddisfacente g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

e h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implica g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

per tutti i g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h{1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle h_{2}\in G}

. Per una congruenza su un gruppo, la classe di equivalenza contenente l’elemento di identità è sempre un sottogruppo normale e le altre classi di equivalenza sono i coseti di questo sottogruppo. Insieme, queste classi di equivalenza sono gli elementi di un gruppo quoziente.

Quando una struttura algebrica include più di un’operazione, le relazioni di congruenza devono essere compatibili con ciascuna operazione. Per esempio, un anello possiede sia l’addizione e la moltiplicazione, e una congruenza relazione su un anello deve soddisfare

r 1 + s 1 ≡ r 2 + s 2 e r 1 s 1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ e }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

ogni volta che r 1 ≡ r 2 e s 1 ≡ s 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ e }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Per una congruenza su un anello, la classe di equivalenza contenente 0 è sempre un ideale a due lati e le due operazioni sull’insieme delle classi di equivalenza definiscono l’anello quoziente corrispondente.

La nozione generale di una relazione di congruenza può essere data una definizione formale nel contesto dell’algebra universale, un campo che studia le idee comuni a tutte le strutture algebriche. In questa impostazione, una relazione di congruenza è una relazione di equivalenza ≡ {\displaystyle \equiv }

su una struttura algebrica che soddisfa µ ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≡ m ( 1 ‘, 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\a destra)}