Variabili coniugate

Esistono molti tipi di variabili coniugate, a seconda del tipo di lavoro che un determinato sistema sta facendo (o sta subendo). Esempi di variabili coniugate canonicamente includono quanto segue:

• Tempo e frequenza: più a lungo una nota musicale è sostenuta, più precisamente conosciamo la sua frequenza, ma si estende su una durata più lunga ed è quindi un evento più distribuito o “istantaneo” nel tempo. Al contrario, una nota musicale molto breve diventa un semplice clic, e quindi è più temporalmente localizzata, ma non si può determinare la sua frequenza con molta precisione.
• Doppler e gamma: più sappiamo quanto lontano sia un bersaglio radar, meno possiamo conoscere l’esatta velocità di avvicinamento o ritirata e viceversa. In questo caso, la funzione bidimensionale di doppler e range è nota come funzione di ambiguità radar o diagramma di ambiguità radar.
• Energia superficiale: γ dA (γ = tensione superficiale; A = superficie).
• Allungamento elastico: F dL (F = forza elastica; L lunghezza allungata).

Derivate di azioneEdit

Nella fisica classica, le derivate di azione sono variabili coniugate alla quantità rispetto alla quale si sta differenziando. In meccanica quantistica, queste stesse coppie di variabili sono correlate dal principio di indeterminazione di Heisenberg.

• L’energia di una particella in un determinato evento è il negativo della derivata dell’azione lungo una traiettoria di quella particella che termina in quell’evento rispetto al tempo dell’evento.
• Il momento lineare di una particella è la derivata della sua azione rispetto alla sua posizione.
• Il momento angolare di una particella è la derivata della sua azione rispetto al suo orientamento (posizione angolare).
• massa-momento ( N = t p E r {\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }
  

  ) di una particella è il negativo del derivato della sua azione rispetto alla sua rapidità.

• Il potenziale elettrico (φ, tensione) in un evento è il negativo della derivata dell’azione del campo elettromagnetico rispetto alla densità di carica elettrica (libera) in quell’evento.
• Il potenziale magnetico (A) in un evento è la derivata dell’azione del campo elettromagnetico rispetto alla densità della corrente elettrica (libera) in quell’evento.
• Il campo elettrico (E) in un evento è la derivata dell’azione del campo elettromagnetico rispetto alla densità di polarizzazione elettrica in quell’evento.
• L’induzione magnetica (B) in un evento è la derivata dell’azione del campo elettromagnetico rispetto alla magnetizzazione in quell’evento.
• Il potenziale gravitazionale newtoniano in un evento è il negativo della derivata dell’azione del campo di gravitazione newtoniano rispetto alla densità di massa in quell’evento.

Teoria quantistica

In meccanica quantistica, le variabili coniugate sono realizzate come coppie di osservabili i cui operatori non commutano. Nella terminologia convenzionale, si dice che siano osservabili incompatibili. Si consideri, ad esempio, le quantità misurabili date da position (x) {\displaystyle \ left(x \ right)}

e momentum (p ) {\displaystyle \left (p \ right)}

. In meccanica quantistica il formalismo, i due osservabili x {\displaystyle x}

e p {\displaystyle p}

corrispondono agli operatori x ^ {\displaystyle {\widehat {x}}}

e p ^ {\displaystyle {\widehat {p\,}}}

, che necessariamente soddisfare la canonica di commutazione relazione: = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle ={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\editormaniglie }

Per ogni non-zero commutatore di due operatori, esiste un “principio di indeterminazione”, che nel nostro esempio può essere espresso nella forma:

Δ Δ x p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \editormaniglie /2}

In questo mal definite notazione, Δ x {\displaystyle \Delta x}

e Δ p {\displaystyle \Delta p}

denotano un “incertezza” in simultanea specifica di x {\displaystyle x}

e p {\displaystyle p}

. Un’istruzione più precisa e statisticamente completa che coinvolge la deviazione standard σ {\displaystyle \sigma }

legge: σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \editormaniglie /2}

Più in generale, per tutte le due osservabili di Un {\displaystyle Un}

e B {\displaystyle B}

corrispondente a operatori di A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}}

e B ^ {\displaystyle {\widehat {B}}}

, la generalizzata del principio di indeterminazione è dato da: σ 2 σ B 2 ≥ ( 1 2 i ⟨ ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left\right\rangle \a destra)^{2}}

Ora immaginiamo che stiamo per definire in modo esplicito due operatori, assegnando a ciascuna un matematico specifico modulo, in modo tale che la coppia che soddisfa il suddetto commutazione relazione. È importante ricordare che la nostra particolare “scelta” di operatori rifletterebbe semplicemente una delle tante rappresentazioni equivalenti, o isomorfe, della struttura algebrica generale che caratterizza fondamentalmente la meccanica quantistica. La generalizzazione è fornita formalmente dall’algebra di Lie di Heisenberg h 3 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}