Kongruenzbeziehung

Die Definition einer Kongruenz hängt von der Art der betrachteten algebraischen Struktur ab. Bestimmte Definitionen der Kongruenz können für Gruppen, Ringe, Vektorräume, Module, Halbgruppen, Gitter usw. vorgenommen werden. Das gemeinsame Thema ist, dass eine Kongruenz eine Äquivalenzrelation für ein algebraisches Objekt ist, das mit der algebraischen Struktur kompatibel ist, in dem Sinne, dass die Operationen für die Äquivalenzklassen genau definiert sind.

Zum Beispiel ist eine Gruppe ein algebraisches Objekt, das aus einer Menge zusammen mit einer einzigen binären Operation besteht, die bestimmte Axiome erfüllt. Wenn G {\displaystyle G}}

ist eine Gruppe mit der Operation ∗ {\displaystyle \ast }

, eine Kongruenzrelation auf G {\displaystyle G}

ist eine Äquivalenzrelation ≡ {\displaystyle \equiv }

über die Elemente von G {\displaystyle G}

befriedigend g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

und h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \ \,h_{1}\äquiv h_{2}\impliziert g_{1}\ast h_{1}\äquiv g_{2}\ast h_{2}}

für alle g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_}{2}}

, h 1 {\displaystyle h_}{1}}

, h 2 ∈ G {\displaystyle h_{2}\in G}

. Für eine Kongruenz auf einer Gruppe ist die Äquivalenzklasse, die das Identitätselement enthält, immer eine normale Untergruppe, und die anderen Äquivalenzklassen sind die Cosets dieser Untergruppe. Zusammen sind diese Äquivalenzklassen die Elemente einer Quotientengruppe.

Wenn eine algebraische Struktur mehr als eine Operation enthält, müssen Kongruenzbeziehungen mit jeder Operation kompatibel sein. Zum Beispiel besitzt ein Ring sowohl Addition als auch Multiplikation, und eine Kongruenzbeziehung auf einem Ring muss

r 1 + s 1 ≡ r 2 + s 2 und r 1 s 1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ und }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

wann immer r 1 ≡ r 2 und s 1 ≡ s 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ und }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Für eine Kongruenz auf einem Ring ist die Äquivalenzklasse, die 0 enthält, immer ein zweiseitiges Ideal, und die beiden Operationen auf der Menge der Äquivalenzklassen definieren den entsprechenden Quotientenring.

Der allgemeine Begriff einer Kongruenzbeziehung kann im Kontext der universellen Algebra, einem Gebiet, das Ideen untersucht, die allen algebraischen Strukturen gemeinsam sind, formell definiert werden. In dieser Einstellung ist eine Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation ≡ {\displaystyle \equiv }

über eine algebraische Struktur, die μ ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≡ μ ( a 1 ‘ , a 2 ‘ , … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\äquiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }} a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\rechts)}