Konjugierte Variablen

Es gibt viele Arten von konjugierten Variablen, abhängig von der Art der Arbeit, die ein bestimmtes System ausführt (oder der es ausgesetzt ist). Beispiele für kanonisch konjugierte Variablen sind die folgenden:

• Zeit und Frequenz: Je länger eine Musiknote gehalten wird, desto genauer kennen wir ihre Frequenz, aber sie erstreckt sich über eine längere Dauer und ist somit ein stärker verteiltes Ereignis oder ein ‘Augenblick’ in der Zeit. Umgekehrt wird eine sehr kurze Musiknote nur zu einem Klick und ist somit zeitlich lokalisierter, aber man kann ihre Frequenz nicht sehr genau bestimmen.
• Doppler und Reichweite: Je mehr wir darüber wissen, wie weit ein Radarziel entfernt ist, desto weniger können wir über die genaue Annäherungs- oder Rückzugsgeschwindigkeit wissen und umgekehrt. In diesem Fall wird die zweidimensionale Funktion von Doppler und Bereich als Radar-Mehrdeutigkeitsfunktion oder Radar-Mehrdeutigkeitsdiagramm bezeichnet.
• Oberflächenenergie: γ dA (γ = Oberflächenspannung; A = Oberfläche).
• Elastische dehnung: F dL (F = elastische kraft; L länge gestreckt).

Derivate der Aktionbearbeiten

In der klassischen Physik sind die Derivate der Aktion konjugierte Variablen zu der Größe, in Bezug auf die man differenziert. In der Quantenmechanik werden dieselben Variablenpaare durch die Heisenbergsche Unschärferelation in Beziehung gesetzt.

• Die Energie eines Teilchens bei einem bestimmten Ereignis ist das Negativ der Ableitung der Aktion entlang einer Flugbahn dieses Teilchens, die bei diesem Ereignis in Bezug auf den Zeitpunkt des Ereignisses endet.
• Der lineare Impuls eines Teilchens ist die Ableitung seiner Wirkung in Bezug auf seine Position.
• Der Drehimpuls eines Teilchens ist die Ableitung seiner Wirkung in Bezug auf seine Orientierung (Winkellage).
• Das Massenmoment ( N = t p – E r {\displaystyle \mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r} }
  

  ) eines Teilchens ist das Negativ der Ableitung seiner Wirkung in Bezug auf seine Schnelligkeit.

• Das elektrische Potential (φ, Spannung) bei einem Ereignis ist das Negativ der Ableitung der Wirkung des elektromagnetischen Feldes in Bezug auf die Dichte der (freien) elektrischen Ladung bei diesem Ereignis.
• Das magnetische Potential (A) bei einem Ereignis ist die Ableitung der Wirkung des elektromagnetischen Feldes in Bezug auf die Dichte des (freien) elektrischen Stroms bei diesem Ereignis.
• Das elektrische Feld (E) bei einem Ereignis ist die Ableitung der Wirkung des elektromagnetischen Feldes in Bezug auf die elektrische Polarisationsdichte bei diesem Ereignis.
• Die magnetische Induktion (B) bei einem Ereignis ist die Ableitung der Wirkung des elektromagnetischen Feldes in Bezug auf die Magnetisierung bei diesem Ereignis.
• Das Newtonsche Gravitationspotential bei einem Ereignis ist das Negativ der Ableitung der Wirkung des Newtonschen Gravitationsfeldes in Bezug auf die Massendichte bei diesem Ereignis.

Quantentheoriebearbeiten

In der Quantenmechanik werden konjugierte Variablen als Paare von Observablen realisiert, deren Operatoren nicht pendeln. In der konventionellen Terminologie werden sie als inkompatible Observablen bezeichnet. Betrachten Sie als Beispiel die messbaren Größen, die durch position ( x ) {\displaystyle \left(x\right ) {\displaystyle \left(x\right)}

und Impuls (p ) {\displaystyle \left(p\right)}

. Im quantenmechanischen Formalismus sind die beiden Observablen x {\displaystyle x}}

und p {\displaystyle p}}

entspricht Operatoren x ^ {\displaystyle {\widehat {x}}}

und p ^ {\displaystyle {\widehat {p\,}}}

, die notwendigerweise die kanonische Kommutierungsbeziehung erfüllen: = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle ={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{\widehat {x}}=i\hbar }

Für jeden Kommutator ungleich Null zweier Operatoren existiert eine “Unschärferelation”, die in unserem vorliegenden Beispiel ausgedrückt werden kann in der Form:

Δ x Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \h} /2}

In dieser schlecht definierten Notation ist Δ x {\displaystyle \Delta x}

und Δ p {\displaystyle \Delta p}

bezeichnen “Unsicherheit” bei der gleichzeitigen Spezifikation von x {\displaystyle x}

und p {\displaystyle p}}

. Eine genauere und statistisch vollständigere Aussage mit der Standardabweichung σ {\displaystyle \sigma }

lautet: σ x σ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2}

Für zwei beliebige Observablen A {\displaystyle A {\displaystyle A}}}

und B {\displaystyle B}

entsprechend den Operatoren A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}}

und B ^ {\displaystyle {\widehat {B}}}

, die generalisierte Unschärferelation ist gegeben durch: σ A 2 σ B 2 ≥ ( 1 2 i ⟨ ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \links({\frac {1}{2i}}\links\langle \links\rechts\rangle \rechts)^{2}}

Nehmen wir nun an, wir würden explizit zwei bestimmte Operatoren definieren und jedem eine bestimmte mathematische Form zuweisen, so dass das Paar die oben erwähnte Kommutierungsrelation erfüllt. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass unsere besondere “Wahl” von Operatoren lediglich eine von vielen äquivalenten oder isomorphen Darstellungen der allgemeinen algebraischen Struktur widerspiegeln würde, die die Quantenmechanik grundlegend charakterisiert. Die Verallgemeinerung wird formal durch die Heisenbergsche Lügenalgebra h 3 {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}}