Closed surface intuition [closed]

gdybyś miał sferyczną kartkę papieru, każdy punkt na papierze byłby otoczony papierem o dwóch wymiarach. Można wyciąć małe kółko z tym punktem na środku. Jeśli mielibyśmy zwykły arkusz papieru, większość papieru byłaby taka, ale byłaby granica, w której punkty mają tylko papier po jednej stronie i można by wyciąć tylko półkole. To właśnie oznacza “granica”, gdy mamy do czynienia z powierzchniami.

niestety pokazana przez Ciebie definicja jest niepełna. Zamknięta powierzchnia musi być również zwarta. Moja ulubiona definicja byłaby naprawdę trudna do wyjaśnienia, ale jeśli nie używasz jakiegoś naprawdę dziwnego sposobu mierzenia odległości, wystarczy prostszy. Musi być zamknięty i ograniczony (brak związku z “zamkniętą” i “granicą”, o której już wspomniałem). “Zamknięty” oznacza tutaj, że każdy punkt nie na papierze jest całkowicie otoczony punktami nie na papierze, więc nie można po prostu mieć zwykłego arkusza papieru, w którym brakuje tylko krawędzi, więc technicznie nie ma granicy. “Ograniczony” oznacza, że nie ciągnie się w nieskończoność w dowolnym kierunku, więc samolot się nie liczy.

Edit:

myślę, że dobrze jest wyjaśnić, dlaczego compact to rzecz. Jeśli spojrzysz na otwarty przedział od zera do jedynki, jest ograniczony. To nie trwa wiecznie. Ale można wziąć funkcję ciągłą (która zachowuje wszystkie rodzaje struktur, które matematycy kochają) i uzyskać coś, co trwa wiecznie. Na przykład, $f(x) = 1/x$ jest ciągły w tym przedziale i mapuje go do otwartego interwału $(1,\infty)$. Jeśli używasz zamkniętego interwału, nie możesz tego zrobić. Każda ciągła funkcja $$ odwzoruje ją na ograniczony zbiór. Można powiedzieć $1/0 = \ infty$, a topolodzy często to robią, ale dodanie takiej nieskończoności miesza się ze strukturą prawdziwej linii tak bardzo, że mniej zarabiasz $ $ nieskończoność niż tworzysz prawdziwą linię skończoną.

zwarta oznacza, że mamy do czynienia ze zbiorem, w którym skończoność jest nieodłączną częścią struktury w sposób, którego nie można zmienić przez coś tak prostego jak funkcja ciągła.

zamknięta powierzchnia to taka, która nie trwa wiecznie, ale też nie ma krawędzi. Krąży wokół siebie jak kula.