jak uzyskać rozwiązanie skomplikowanego równania?

wprowadzenie

aktualizacja 6/2014

pierwotnie znalazłem trzy rozwiązania; teraz jest sześć. Myślałem, że wiem, że są trzy, ponieważ racjonalizacja równania skutkuje wielomianem stopnia 24 i NSolve znajduje 24 pierwiastki, a następnie eliminuje pierwiastki, które nie były zerami pierwotnego równania. Okazuje się, że równanie było kłopotliwe z punktu widzenia liczb i przegapiłem trzy.

inne modyfikacje:

• bardziej naturalne wydaje się użycie Rationalize do przeliczenia współczynników na dokładne liczby w tym przypadku niż SetPrecision.

• podobnie zamieniłem First @ eq na Subtract @@ eq.

racjonalizacji równania

należy pamiętać, że zgodnie z dokumentacją na NSolve

NSolve zajmuje się głównie równaniami liniowymi i wielomianowymi.

równanie OP jest równaniem algebraicznym, które można przekształcić w równanie wielomianowe, które NSolve może następnie łatwo rozwiązać. Ponieważ NSolve nie robi tego sam, musimy zracjonalizować ” ręcznie.”Racjonalizacja ma tendencję do wprowadzania obcych rozwiązań, więc musimy sprawdzić odpowiedzi zwracane przez NSolve. Nieco paskudne współczynniki eq utrudniają to, ponieważ w racjonalizacji eq błąd zaokrąglania prowadzi do tego, że niektóre pierwiastki kwadratowe nie anulują się tak, jak powinny. Możemy to naprawić, ustawiając precyzję eq na Infinity.

możemy znaleźć pierwiastki kwadratowe w wyrażeniu expr z

DeleteDuplicates @ Cases, Infinity]

wtedy dla każdego pierwiastka kwadratowego możemy pomnożyć expr przez wyrażenie z pierwiastkiem kwadratowym zastąpionym przez jego ujemny i uprościć.

Poniżej znajduje się wynik zastosowania metody do funkcji uzyskanej przez zastąpienie Equal w eq przez Subtract z Apply (@@). Możemy dokładnie rozwiązać równanie.

eqExact = Rationalize;rationalized = Simplify @ Fold &, eqExact, DeleteDuplicates@Cases, Infinity]];rootsRatExact = Solve;rootsRat = NSolve(* 24 roots {{ζ -> -24559.6 + 24559.6 I}, <<22>>, {ζ -> 24559.6 - 24559.7 I}}*)

istnieją pewne znaczące różnice między tymi dwoma rozwiązaniami:

(ζ /. rootsRat) - (ζ /. rootsRatExact) // Abs // Max(* 3.15226*10^-10*)

Wybieranie pierwiastków podanego równania

Update: tutaj przegapiłem kilka zer.

użyłem Pick, aby wybrać pierwiastki, przy których oryginalne równanie eqma małą wartość, mniejszą niż jakiś mały próg, powiedzmy 10^-1. Później możemy sprawdzić, że każdy jest korzeniem, ale nie sprawdziłem innych korzeni. Pierwotnymi korzeniami były:

rootsEq = Pick < 10^-1 /. rootsRat](* {{ζ -> -3.78042 - 5.50655 I}, {ζ -> -3.20562 + 5.39914 I}, {ζ -> 6.98478 + 0.493405 I}}*)

odpowiadają one korzeniom 7, 9 i 20 w rootsRat:

Position < 10^-1 &)](* {{7}, {9}, {20}}*)

jeśli sprawdzam dokładne równanie dla zer z PossibleZeroQ, dostaję więcej pierwiastków:

Position(* {{1}, {7}, {9}, {14}, {20}, {21}}*)

trwa wieczność na tych potencjalnych korzeni, a przynajmniej dłużej niż byłem skłonny czekać.]

co ciekawe, te dodatkowe korzenie są związane z różnicami między wynikami zwracanymi przez NSolve i Solve:

Position, _?Positive](* {{1}, {2}, {3}, {14}, {21}, {22}, {23}, {24}}*)

niech nasze nowe korzenie będą następujące i możemy je sprawdzić poniżej:

rootsEqNew = Pick];rootsEqNew // N(* {{ζ -> -24559.6 + 24559.6 I}, {ζ -> -3.78042 - 5.50655 I}, {ζ -> -3.20562 + 5.39914 I}, {ζ -> -0.0832786 - 722.827 I}, {ζ -> 6.98478 + 0.493405 I}, {ζ -> 722.642 - 0.100823 I}}*)

sprawdza

na początku at nie wygląda zbyt dobrze dla nowych dodatków:

eqExact /. rootsEqNew // N(* { 0. + 9.7614*10^12 I, (* {1} *) -1.49012*10^-8 + 3.91155*10^-8 I, (* {7} *) -1.39698*10^-8 - 3.63216*10^-8 I, (* {9} *) -2. + 1536. I, (* {14} *) 1.49012*10^-8 + 1.11759*10^-8 I, (* {20} *) 0. + 1024. I} (* {21} *)*)

problem polega na ocenie równania z precyzją maszyny.

N(* N::meprec warning about $MaxExtraPrecision being reached *)(* {0``69.62973568978663 + 0``69.69302870899077 I, 0``90.5174054423328 + 0``90.55817837498498 I, 0``90.50250822096415 + 0``90.54414468499085 I, 0``80.1824915073549 + 0``79.76650578675965 I, 0``90.47483650216002 + 0``90.49782363232914 I, 0``80.17292602755023 + 0``79.76710897249409 I}*)

ostrzeżenie nie wydaje się być istotne. Podskakiwanie $MaxExtraPrecision do 2000 nadal powoduje Ostrzeżenie i zera z dokładnością około 2020do 2040. Jeśli są to zera, N prawdopodobnie zawsze wyświetli ostrzeżenie, ponieważ nie może mieć Precision(innego niż MachinePrecision).