Macierze towarzyszące

macierz towarzysząca wielomianowi monicznemu

(1)

jest macierzą kwadratową

(2)

z tymi na subdiagonalnej i ostatniej kolumnie podanej współczynnikami . Zauważ, że w literaturze macierz towarzysząca jest czasami definiowana z przestawionymi wierszami i kolumnami, tj. transpozycją powyższej macierzy.

gdy jest podstawą standardową, macierz towarzysząca spełnia

(3)

dla , a także

(4)

w tym

(5)

wielomian minimalny macierzy towarzyszącej wynosi zatem , który jest również jej wielomianem charakterystycznym.

Macierze towarzyszące służą do zapisu macierzy w formie racjonalnej kanonicznej. W rzeczywistości każda macierz, której macierz minimalny wielomian ma stopień wielomianu jest podobna do macierzy towarzyszącej dla. Racjonalna forma kanoniczna jest bardziej interesująca, gdy stopień jest mniejszy niż .

poniższe polecenie języka Wolfram daje macierz towarzyszącą dla wielomianu w zmiennej .

 CompanionMatrix := Module}, w = -w/Last; n = Length - 1; SparseArray], {i_, j_} /; i == j + 1 -> 1}, {n, n}]]