przedział ufności dla wariancji

korzystając z próbki do obliczenia statystyk, szacujemy parametr populacji. Jest to tylko oszacowanie i próbki ze względu na charakter rysunku próbki nie może utworzyć wartość (statystyka), która jest zbliżona do rzeczywistej wartości (parametr).

możemy obliczyć przedział ufności dotyczący statystyki, aby określić, gdzie może istnieć prawdziwy i często nieznany parametr. Obejmuje to obliczenie statystyki wariancji.

gdybyś narysował wiele różnych próbek o tej samej wielkości z populacji i wykreślił statystykę wariancji, otrzymany rozkład prawdopodobnie pasuje do rozkładu χ2. Wykreślenie środków tworzy rozkład normalny, który jest symetryczny i wytwarza symetryczne przedziały ufności. Rozkład χ2 nie jest symetryczny i daje asymetryczne przedziały.

wzór

przedział ufności wynosi

$$ \large\displaystyle \frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{\chi _{\frac{\alpha }{2},\text{ }N-1}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( n-1 \Right){{s}^{2}}}{\Chi _{1-\frac{\alpha }{2},\text{ }N-1}^{2}}$$

gdzie s2 jest wariancją próbki, a n jest wielkością próbki. Stopnie swobody to n-1. Uwaga musisz wprowadzić tabelę χ2 dwa razy raz dla każdej strony interwału.

przykład

powiedzmy, że mamy 25 próbek i obliczyliśmy wariancję próbki na 47. Jaki jest 90% przedział ufności wariancji? Innymi słowy, w jakim zakresie istnieje prawdziwa wariancja populacji?

stopnie swobody to df = 25 – 1 = 24. Tak więc używając tabeli χ2 znajdujemy, że Niższa Wartość χ2 to 36,42, a górna to 13,85. Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć przedział ufności.

$$ \ large \ displaystyle \ begin{array} {l}\frac {\left( 25-1 \right)47} {\chi _{\frac{0.1}{2},\text{ 25}-1}^{2}}\le {{\sigma} ^{2}} \ le \ frac {\left( 25-1 \right)47} {\chi _{1 – \frac{0.1}{2},\text{ 25}-1}^{2}}\\\frac {\left (24 \right)47}{\chi _{0.05,\text{ 24}}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.95,\text{ 24}}^{2}}\\\frac {\left (24\right)47}{36.42} \le {{\sigma }^{2}} \le\frac {\left (24 \ right)47}{13.85}\\30.97\le {{\sigma} ^{2}} \ le 81.44 \ end{array}$$

upewnij się, że korzystasz bezpośrednio z wariancji próbki. Czasami możesz otrzymać odchylenie standardowe próbki – w tym przypadku musisz podnieść tę wartość do kwadratu i użyć wariancji próbki we wzorze powyżej.

podobne:

przedziały ufności dla MTBF (artykuł)

przedziały tolerancji dla zestawu danych opartych na rozkładzie normalnym (artykuł)

szacunki punktu i przedziału (artykuł)