Relacja kongruencji

definicja kongruencji zależy od typu rozważanej struktury algebraicznej. Poszczególne definicje zgodności mogą być wykonane dla grup, pierścieni, przestrzeni wektorowych, modułów, półgrup, krat i tak dalej. Wspólnym tematem jest to, że kongruencja jest relacją równoważności na obiekcie algebraicznym, który jest zgodny ze strukturą algebraiczną, w tym sensie, że operacje są dobrze zdefiniowane na klasach równoważności.

na przykład grupa jest obiektem algebraicznym składającym się ze zbioru wraz z pojedynczą operacją binarną, spełniającą pewne aksjomaty. If g {\displaystyle G}

jest grupą o działaniu ∗ {\displaystyle \AST }

, relacja zbieżności na G {\displaystyle G}

jest relacją równoważności ≡ {\displaystyle \equiv }

na elementach g {\displaystyle g}

g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

i h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \\, H_{1}\equiv h_{2} \ implikuje g_{1}\ast h_{1} \ equiv g_{2}\ast h_{2}}

dla wszystkich g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ g {\displaystyle h_{2}\in G}

. Dla kongruencji na grupie Klasa równoważności zawierająca element tożsamościowy jest zawsze podgrupą normalną, a pozostałe klasy równoważności są cosetami tej podgrupy. Razem te klasy równoważności są elementami grupy ilorazowej.

gdy struktura algebraiczna zawiera więcej niż jedną operację, wymagane są relacje zgodności z każdą operacją. Na przykład pierścień posiada zarówno Dodawanie, jak i mnożenie, a relacja kongruencji na pierścieniu musi spełniać

R 1 + s 1 ≡ R 2 + s 2 i r 1 s 1 ≡ R 2 S 2 {\displaystyle r_{1} + s_{1} \ equiv R_{2} + s_{2} {\text{ i }} r_{1} s_{1} \ equiv R_{2}s_{2}}

ilekroć r 1 ≡ r 2 i s 1 ≡ s 2 {\displaystyle r_{1} \ equiv R_{2} {\text{ i }} s_{1} \ equiv S_{2}}

. Dla kongruencji na pierścieniu Klasa równoważności zawierająca 0 jest zawsze ideałem dwustronnym, a dwie operacje na zbiorze klas równoważności definiują odpowiedni pierścień ilorazowy.

ogólne pojęcie relacji kongruencji można podać formalną definicję w kontekście algebry uniwersalnej, dziedziny, która bada idee wspólne dla wszystkich struktur algebraicznych. W tym ustawieniu relacja kongruencji jest relacją równoważności ≡ {\displaystyle \equiv }

na strukturze algebraicznej spełniającej μ ( a 1 , A 2 , … , a n ) ≡ μ ( a 1 ‘, A 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\right)}