Teoria obliczeniowości

począwszy od teorii zbiorów i funkcji rekurencyjnych opisanych powyżej, pole teorii rekurencji rozwinęło się do badania wielu ściśle powiązanych tematów. Nie są to niezależne obszary badań: każdy z tych obszarów czerpie pomysły i wyniki z innych, a większość teoretyków rekurencji zna większość z nich.

względna obliczalność i stopnie Turinga

teoria rekurencji w logice matematycznej tradycyjnie skupiała się na względnej obliczeniowości, uogólnieniu obliczeniowości Turinga zdefiniowanym za pomocą maszyn Turinga Oracle, wprowadzonym przez Turinga (1939). Maszyna Turinga oracle jest hipotetycznym urządzeniem, które oprócz wykonywania czynności zwykłej maszyny Turinga, jest w stanie zadawać pytania wyroczni, która jest szczególnym zbiorem liczb naturalnych. Maszyna oracle może zadawać pytania tylko w postaci ” czy n w zbiorze oracle?”. Każde pytanie zostanie natychmiast odpowiedzi poprawnie, nawet jeśli zestaw oracle nie jest obliczalny. W ten sposób maszyna Oracle z niekomputowalną oracle będzie w stanie obliczyć zestawy, których maszyna Turinga bez oracle nie może.

nieformalnie, zbiór liczb naturalnych a jest redukowany przez Turinga do zbioru B, jeśli istnieje maszyna oracle, która poprawnie mówi, czy liczby są w a, gdy są uruchamiane z B jako zbiorem oracle (w tym przypadku zbiór A jest również (względnie) obliczalny z B i rekurencyjny w B). Jeśli zbiór A jest Turinga redukowalny do zbioru B, A B jest Turinga redukowalny do A, mówi się, że zbiory mają ten sam stopień Turinga (zwany także stopniem nierozdzielności). Stopień Turinga zbioru daje dokładną miarę tego, jak nieskomplikowany jest zbiór.

naturalne przykłady zbiorów, które nie są obliczalne, w tym wiele różnych zbiorów, które kodują warianty problemu zatrzymania, mają dwie wspólne właściwości:

1. są one rekurencyjnie wyliczalne,a
2. każdy może być przetłumaczony na dowolny inny poprzez redukcję wielu-jeden. Oznacza to, że biorąc pod uwagę takie zbiory a i B, istnieje całkowita obliczalna funkcja f taka, że A = {x: f (x) ∈ B}. Zestawy te są uważane za wiele-jeden odpowiednik (lub m-odpowiednik).

redukcje wielu-JEDEN są “silniejsze” niż redukcje Turinga: jeśli zbiór A jest redukcją wielu-jeden do zbioru B, to a jest redukcją Turinga do B, ale konwersja nie zawsze się utrzymuje. Chociaż naturalne przykłady zbiorów niekompatybilnych są równoważne wielu-JEDEN, możliwe jest skonstruowanie rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów A i B takich, że A jest Turinga redukowalne do B, ale nie wiele-jeden redukowalny do B. Można wykazać, że każdy zbiór rekurencyjnie wyliczalny jest many-one reducible do problemu zatrzymania, a zatem problem zatrzymania jest najbardziej skomplikowanym zbiorem rekurencyjnie wyliczalnym w odniesieniu do many-one reducibility i w odniesieniu do Turinga reducibility. Post (1944) zapytał, Czy każdy rekurencyjnie wyliczalny zbiór jest albo obliczalny, albo Turinga równoważny problemowi wstrzymania, to znaczy, czy nie ma rekurencyjnie wyliczalnego zbioru o stopniu Turinga pośrednim między tymi dwoma.

jako wyniki pośrednie, po zdefiniowaniu naturalnych typów zbiorów rekurencyjnie wyliczalnych, takich jak zestawy proste, hypersimple i hyperhypersimple. Post pokazał, że te zbiory są ściśle między zbiorami obliczeniowymi a problemem zatrzymania w odniesieniu do redukowalności wielu-jeden. Post wykazał również, że niektóre z nich są ściśle pośrednie pod innymi pojęciami redukowalności silniejszymi niż redukowalność Turinga. Ale Post pozostawił otwarty główny problem istnienia rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów pośredniego stopnia Turinga; problem ten stał się znany jako problem Posta. Po dziesięciu latach Kleene i Post pokazali w 1954, że istnieją pośrednie stopnie Turinga między tymi ze zbiorów obliczeniowych a problemem zatrzymywania, ale nie wykazali, że którykolwiek z tych stopni zawiera rekurencyjnie wyliczalny zbiór. Wkrótce potem Friedberg i Muchnik niezależnie rozwiązali problem Posta, ustalając istnienie rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów stopnia pośredniego. Ten przełomowy wynik otworzył szerokie badania stopni Turinga rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów, które okazały się posiadać bardzo skomplikowaną i nietrywialną strukturę.

istnieje nieskończenie wiele zbiorów, które nie są rekurencyjnie wyliczalne, a badanie stopni Turinga wszystkich zbiorów jest tak samo centralne w teorii rekurencji, jak badanie rekurencyjnie wyliczalnych stopni Turinga. Skonstruowano wiele stopni o specjalnych właściwościach: stopnie hiperimmunologiczne, w których każda funkcja obliczalna względem tego stopnia jest majoryzowana przez (nieelatywizowaną) funkcję obliczeniową; wysokie stopnie względem których można obliczyć funkcję F, która dominuje nad każdą obliczalną funkcją g w tym sensie, że istnieje stała C zależna od g, taka, że G(x) < f(x) dla wszystkich X > c; stopnie losowe zawierające algorytmicznie losowe zbiory; 1-Ogólne stopnie zbiorów 1-ogólnych; i stopnie poniżej problemu zatrzymania zbiorów limitowo-rekurencyjnych.

badanie dowolnych (niekoniecznie rekurencyjnie wyliczalnych) stopni Turinga polega na badaniu skoku Turinga. Biorąc pod uwagę zbiór A, skok Turinga z a jest zbiorem liczb naturalnych kodujących rozwiązanie problemu zatrzymania dla maszyn Turinga Oracle działających z oracle A. skok Turinga dowolnego zbioru jest zawsze wyższego stopnia Turinga niż oryginalny zbiór, a twierdzenie Friedburga pokazuje, że każdy zbiór, który oblicza problem zatrzymania, można uzyskać jako skok Turinga z innego zbioru. Twierdzenie posta ustanawia ścisły związek między operacją skoku Turinga a hierarchią arytmetyczną, która jest klasyfikacją pewnych podzbiorów liczb naturalnych w oparciu o ich definiowalność w arytmetyce.

wiele ostatnich badań nad stopniami Turinga skupiło się na ogólnej strukturze zbioru stopni Turinga i zbioru stopni Turinga zawierającego rekurencyjnie wyliczalne zbiory. Głębokie twierdzenie Shore ‘ A i Slamana (1999) mówi, że funkcja odwzorowująca stopień x na stopień jej skoku Turinga jest definiowalna w częściowym porządku stopni Turinga. Niedawne badanie Ambos-Spies and Fejer (2006) daje przegląd tych badań i ich historycznego postępu.

Pozostałe

ciągły obszar badań w teorii rekurencji bada relacje redukowalności inne niż redukowalność Turinga. Post (1944) wprowadził kilka silnych redukcjonizmów, tak nazwanych, ponieważ implikują one redukcjalność tabeli prawdy. Maszyna Turinga implementująca silną redukcję obliczy całkowitą funkcję niezależnie od tego, z którą oracle jest przedstawiona. Słabe redukcje to te, w których proces redukcji nie może zakończyć się dla wszystkich wyroczni; redukcja Turinga jest jednym z przykładów.

do mocnych redukcji należą:

jeden-jeden redukowalność A jest jeden-jeden redukowalny (lub 1-jeden redukowalny) do B, jeśli istnieje całkowita obliczalna funkcja iniekcyjna f taka, że każde n jest w a wtedy i tylko wtedy, gdy f (n) jest w B. Wiele-jeden redukowalność jest to zasadniczo jeden-jeden redukowalność bez ograniczenia, że F jest iniekcyjne. A jest wiele-jeden redukowalny (lub m-redukowalny) do B, jeśli istnieje całkowita obliczalna funkcja f taka, że każde n jest w a wtedy i tylko wtedy, gdy f (n) jest w B. Redukowalność tabeli prawdy a jest tabelą prawdy redukowalną do B, jeśli A jest Turinga redukowalna do b za pomocą maszyny Turinga Oracle, która oblicza całkowitą funkcję niezależnie od oracle, która jest podana. Ze względu na zwartość przestrzeni Kantora jest to równoznaczne z twierdzeniem, że redukcja przedstawia pojedynczą listę pytań (w zależności tylko od danych wejściowych) do wyroczni jednocześnie, a następnie po obejrzeniu ich odpowiedzi jest w stanie wyprodukować wyjście bez zadawania dodatkowych pytań niezależnie od odpowiedzi wyroczni na początkowe pytania. Zbadano również wiele wariantów redukowalności tabeli prawdy.

dalsze redukcje (dodatnie, dysjunkcyjne, koniunkcyjne, liniowe oraz ich wersje słabe i ograniczone) omówiono w artykule redukcja (teoria rekurencji).

głównymi badaniami nad silnymi redukcjami było porównanie ich teorii, zarówno dla klasy wszystkich rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów, jak i dla klasy wszystkich podzbiorów liczb naturalnych. Ponadto badano relacje pomiędzy redukcjami. Przykładowo, wiadomo, że każdy stopień Turinga jest albo stopniem tablicy prawdy, albo też jest połączeniem nieskończenie wielu stopni tabeli prawdy.

reduktory słabsze niż Reduktory Turinga (to jest, reduktory, które są implikowane przez reduktory Turinga) również zostały zbadane. Najbardziej znane to redukowalność arytmetyczna i redukowalność hiperarytmetyczna. Redukcje te są ściśle związane z definiowalnością nad standardowym modelem arytmetyki.

twierdzenie Rice ‘ a i hierarchia arytmetycznaedit

Rice wykazały, że dla każdej nietrywialnej klasy C (która zawiera niektóre, ale nie wszystkie zbiory r.e.) zbiór indeksów E = {E: eth r.e. zbiór We jest w C} ma właściwość, że albo problem zatrzymania lub jego dopełnienie jest wiele-jeden redukowalne do E, to znaczy, może być odwzorowany za pomocą redukcji wielu-jeden do E (zobacz twierdzenie Rice ‘ a po więcej szczegółów). Ale wiele z tych zestawów indeksów jest jeszcze bardziej skomplikowanych niż problem zatrzymania. Tego typu zbiory można klasyfikować za pomocą hierarchii arytmetycznej. Na przykład zbiór indeksu FIN klasy wszystkich zbiorów skończonych znajduje się na poziomie Σ2, zbiór indeksu REC klasy wszystkich zbiorów rekurencyjnych znajduje się na poziomie Σ3, zbiór indeksu COFIN wszystkich zbiorów kofinitów jest również na poziomie Σ3, a zbiór indeksu COMP klasy wszystkich zbiorów Turinga-kompletnych Σ4. Te poziomy hierarchii są zdefiniowane indukcyjnie, Σn+1 zawiera tylko wszystkie zbiory, które są rekurencyjnie wyliczalne względem Σn; Σ1 zawiera zbiory rekurencyjnie wyliczalne. Podane tutaj zbiory indeksów są nawet kompletne dla swoich poziomów, to znaczy, że wszystkich zbiorów na tych poziomach może być wiele-jeden zredukowany do podanych zbiorów indeksów.

matematyka Odwrotnaedytuj

program matematyki odwrotnej pyta, Jakie aksjomaty istnienia zbioru są niezbędne do udowodnienia poszczególnych twierdzeń matematyki w podsystemach arytmetyki drugiego rzędu. Badanie to zostało zainicjowane przez Harveya Friedmana i zostało szczegółowo zbadane przez Stephena Simpsona i innych; Simpson (1999) daje szczegółową dyskusję na temat programu. Aksjomaty istnienia zbioru odpowiadają nieformalnie aksjomatom mówiącym, że zbiór liczb naturalnych jest zamknięty pod różnymi pojęciami redukowalności. Najsłabszym takim aksjomatem badanym w matematyce odwrotnej jest rozumienie rekurencyjne, które stwierdza, że zbiór liczb naturalnych jest zamknięty pod redukowalnością Turinga.

Numeracjaedit

numeracja jest wyliczeniem funkcji; ma dwa parametry, e i x i wyświetla wartość funkcji e-tej w numeracji na wejściu x. Numerowanie może być rekurencyjne częściowo, choć niektóre z jego elementów są rekurencyjnymi całkowitymi, czyli funkcjami obliczeniowymi. Dopuszczalne liczby to te, na które można przełożyć wszystkie inne. Numeracja Friedberga (nazwana na cześć jego odkrywcy) jest numeracją jednostkową wszystkich funkcji częściowo-rekurencyjnych; niekoniecznie jest to numeracja dopuszczalna. Późniejsze badania dotyczyły również numerowania innych klas, takich jak Klasy zbiorów rekurencyjnie wyliczalnych. Gonczarow odkrył na przykład klasę zbiorów rekurencyjnie wyliczalnych, dla których liczby dzielą się na dokładnie dwie klasy w odniesieniu do izomorfizmów rekurencyjnych.

metoda priorytetowaedytuj

aby uzyskać dalsze wyjaśnienie, zobacz sekcję problem Posta i metoda priorytetowa w artykule stopień Turinga.

problem Posta został rozwiązany za pomocą metody o nazwie metoda priorytetowa; dowód za pomocą tej metody nazywany jest argumentem priorytetowym. Metoda ta jest używana przede wszystkim do konstruowania rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów o określonych właściwościach. Aby użyć tej metody, pożądane właściwości zestawu, który ma być skonstruowany, są podzielone na nieskończoną listę celów, znanych jako wymagania, tak że spełnienie wszystkich wymagań spowoduje, że zestaw skonstruowany będzie miał pożądane właściwości. Każdy wymóg jest przypisany do liczby naturalnej reprezentującej priorytet wymogu; tak więc 0 jest przypisany do najważniejszego Priorytetu, 1 do drugiego najważniejszego i tak dalej. Zestaw jest następnie konstruowany etapami, każdy etap próbuje spełnić jeden z Więcej Wymagań przez dodanie numerów do zestawu lub zakaz numery z zestawu tak, że końcowy zestaw będzie spełniać wymóg. Może się zdarzyć, że spełnienie jednego wymogu spowoduje, że inny stanie się niezadowolony; kolejność priorytetowa jest używana do decydowania, co zrobić w takim przypadku.

argumenty priorytetowe zostały wykorzystane do rozwiązania wielu problemów w teorii rekurencji i zostały sklasyfikowane w hierarchii opartej na ich złożoności (Soare 1987). Ponieważ złożone argumenty priorytetowe mogą być techniczne i trudne do naśladowania, tradycyjnie uważa się za pożądane udowodnienie wyników bez argumentów priorytetowych lub sprawdzenie, czy wyniki udowodnione argumentami priorytetowymi mogą być również udowodnione bez nich. Na przykład Kummer opublikował pracę na temat dowodu na istnienie numeracji Friedberga bez użycia metody priorytetowej.

kratka zbiorów rekurencyjnie wyliczalnych

gdy Post zdefiniował pojęcie zbioru prostego jako zbiór r.E. z nieskończonym dopełnieniem nie zawierającym żadnego nieskończonego r.e. set, zaczął badać strukturę zbiorów rekurencyjnie wyliczalnych w ramach inkluzji. Krata ta stała się dobrze zbadaną strukturą. Zbiory rekurencyjne mogą być zdefiniowane w tej strukturze przez podstawowy wynik, że zbiór jest rekurencyjny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór i jego dopełnienie są rekurencyjnie wyliczalne. Nieskończone zbiory r. e. mają zawsze nieskończone podzbiory rekurencyjne, ale z drugiej strony istnieją zbiory proste, ale nie mają coinfinite supersetu rekurencyjnego. Post (1944)wprowadził już zestawy hypersimple i hyperhipersimple; później skonstruowano zestawy maximal, które są zestawami r.e. tak, że każdy r.e. superset jest albo skończonym wariantem danego zbioru maksymalnego, albo jest Ko-skończonym. Pierwotną motywacją posta w badaniu tej sieci było znalezienie pojęcia strukturalnego takiego, że każdy zbiór spełniający tę właściwość nie jest ani w stopniu Turinga zbiorów rekurencyjnych, ani w stopniu Turinga problemu zatrzymania. Post nie znalazł takiej właściwości, a rozwiązanie jego problemu zastosowało zamiast tego metody priorytetowe; Harrington and Soare (1991) znaleźli ostatecznie taką właściwość.

problemy z Automorfizmemedytuj

kolejnym ważnym pytaniem jest istnienie automorfizmów w strukturach rekurencyjno-teoretycznych. Jedną z tych struktur jest to, że jeden z rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów w ramach inkluzji modulo skończonej różnicy; w tej strukturze a jest poniżej B wtedy i tylko wtedy, gdy różnica zbiorów B − A jest skończona. Zbiory maksymalne (zdefiniowane w poprzednim akapicie) mają właściwość, że nie mogą być automorficzne do zbiorów nie-maksymalnych, to znaczy, jeśli istnieje automorfizm rekurencyjnych zbiorów enumeratywnych pod wspomnianą strukturą, to każdy zbiór maksymalny jest mapowany do innego zbioru maksymalnego. Soare (1974) pokazał, że również Converse holds, czyli co dwa zbiory maksymalne są automorficzne. Zatem zbiory maksymalne tworzą orbitę, czyli każdy automorfizm zachowuje maksimum, a dowolne dwa zbiory maksymalne są przekształcane w siebie przez jakiś automorfizm. Harrington podał kolejny przykład własności automorficznej: zbiorów twórczych, zbiorów, których jest wiele-jeden odpowiednik problemu zatrzymania.

oprócz kraty rekurencyjnie wyliczalnych zbiorów, automorfizmy są również badane dla struktury stopni Turinga wszystkich zbiorów, jak również dla struktury stopni Turinga zbiorów r.e. W obu przypadkach Cooper twierdzi, że skonstruował nietrywialne automorfizmy, które mapują niektóre stopnie na inne stopnie; ta konstrukcja nie została jednak zweryfikowana i niektórzy koledzy uważają, że konstrukcja zawiera błędy i że pytanie, czy istnieje nietrywialny automorfizm stopni Turinga, jest nadal jednym z głównych nierozwiązanych pytań w tej dziedzinie (Slaman and Woodin 1986, Ambos-Spies and Fejer 2006).

zespół Kołmogorowa

dziedzina złożoności Kołmogorowa i losowości algorytmicznej została opracowana w latach 60.i 70. przez Chaitina, Kołmogorowa, Levina, Martina-Löfa i Solomonoffa (nazwy podano tutaj w porządku alfabetycznym; większość badań była niezależna, a jedność pojęcia losowości nie była wtedy rozumiana). Główną ideą jest rozważenie uniwersalnej maszyny Turinga U i zmierzenie złożoności liczby (lub ciągu) x jako długości najkrótszego wejścia p, tak że u (p) wyprowadza x. To podejście zrewolucjonizowało wcześniejsze sposoby określania, kiedy ciąg nieskończony (równoważnie, funkcja charakterystyczna podzbioru liczb naturalnych) jest losowy lub nie, powołując się na pojęcie losowości dla skończonych obiektów. Złożoność Kołmogorowa stała się nie tylko przedmiotem samodzielnej nauki, ale jest również stosowana do innych przedmiotów jako narzędzie do uzyskiwania dowodów.Nadal istnieje wiele otwartych problemów w tej dziedzinie. Z tego powodu w styczniu 2007 r.odbyła się ostatnia konferencja naukowa w tej dziedzinie, a lista otwartych problemów jest utrzymywana przez Josepha Millera i Andre niesa.

obliczenia Częstotliwościedytuj

ta gałąź teorii rekurencji analizowała następujące pytanie: dla stałych M I N z 0 < m < n, dla których funkcji a można obliczyć dla dowolnych n wejść x1, x2, …, xn krotka n liczb y1,y2,…, yn takie, że przynajmniej m równań a(xk) = yk są prawdziwe. Takie zbiory są znane jako (m, n)-zbiory rekurencyjne. Pierwszym ważnym rezultatem w tej gałęzi teorii rekurencji jest wynik Trakhtenbrota, że zbiór jest obliczalny, jeśli jest (m, n)-rekurencyjny dla niektórych m, N z 2m > n. Z drugiej strony, zbiory półkursywne Jockuscha (znane już nieformalnie przed wprowadzeniem ich przez Jockuscha w 1968 roku) są przykładami zbioru, który jest (m, n)-rekurencyjny wtedy i tylko wtedy, gdy 2m < N + 1. Istnieje niezliczalnie wiele tych zbiorów, a także kilka rekurencyjnie wyliczalnych, ale niekomputowalnych zbiorów tego typu. Później Degtev ustanowił hierarchię zbiorów rekurencyjnie wyliczalnych, które są (1, N + 1)-rekurencyjne, ale nie (1, n)-rekurencyjne. Po długiej fazie badań rosyjskich naukowców, temat ten stał się na zachodzie ponownie spopularyzowany przez tezę Beigla o ograniczonych kwerendach, które łączyły obliczenia częstotliwości z wyżej wymienionymi ograniczonymi redukcjami i innymi pokrewnymi pojęciami. Jednym z głównych wyników była teoria Cardinality Kummera, która stwierdza, że zbiór A jest obliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje n taki, że jakiś algorytm wylicza dla każdej krotki N różnych liczb do n wielu możliwych wyborów cardinalności tego zbioru n liczb przeciętych z A; wybory te muszą zawierać prawdziwą Kardynalność, ale pomijać przynajmniej jeden fałszywy.

wnioskowanie Indukcyjneedytuj

jest to rekurencyjno-teoretyczna gałąź teorii uczenia się. Opiera się na modelu uczenia się E. Marka Golda w limit z 1967 roku i od tego czasu opracowuje coraz więcej modeli uczenia się. Ogólny scenariusz jest następujący: biorąc pod uwagę klasę S funkcji obliczeniowych, czy istnieje uczący się (czyli funkcja rekurencyjna), który wyprowadza dowolne dane wejściowe postaci (f (0), f (1),…, f(n)) hipoteza. Uczący się m uczy się funkcji f, jeśli prawie wszystkie hipotezy są tym samym indeksem e od f w odniesieniu do wcześniej uzgodnionej akceptowalnej numeracji wszystkich funkcji obliczeniowych; m uczy się S, Jeśli m uczy się każdego F w S. podstawowe wyniki są takie, że wszystkie rekurencyjnie wyliczalne klasy funkcji są do nauczenia, podczas gdy Klasa REC wszystkich funkcji obliczeniowych nie jest do nauczenia. Rozważano wiele powiązanych modeli, a także uczenie się klas rekurencyjnie wyliczalnych zestawów z pozytywnych danych jest tematem badanym od pionierskiego artykułu Golda w 1967 roku.

uogólnienia obliczeń Turinga

teoria rekurencji obejmuje badania uogólnionych pojęć tej dziedziny, takich jak redukowalność arytmetyczna, redukowalność hiperarytmetyczna i teoria α-rekurencji, opisana przez Sacksa (1990). Te uogólnione pojęcia obejmują redukcje, które nie mogą być wykonane przez maszyny Turinga, ale mimo to są naturalnymi uogólnieniami redukcyjności Turinga. Badania te obejmują podejścia do badania hierarchii analitycznej, która różni się od hierarchii arytmetycznej, umożliwiając kwantyfikację nad zbiorami liczb naturalnych oprócz kwantyfikacji nad liczbami indywidualnymi. Obszary te są związane z teoriami porządków i drzew; na przykład zbiór wszystkich indeksów rekurencyjnych (niebinarnych) drzew bez nieskończonych gałęzi jest kompletny dla poziomu Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}}

hierarchii analitycznej. Zarówno redukowalność Turinga, jak i redukowalność hiperarytmetyczna są ważne w dziedzinie efektywnej teorii zbiorów opisowych. Jeszcze bardziej ogólne pojęcie stopni konstruktywności jest badane w teorii mnogości.

ciągła teoria obliczeniowościedytuj

teoria Obliczeniowalności dla obliczeń cyfrowych jest dobrze rozwinięta. Teoria obliczeniowości jest mniej dobrze rozwinięta dla obliczeń analogowych, które występują w komputerach analogowych, przetwarzaniu sygnałów analogowych, elektronice analogowej, sieciach neuronowych i teorii sterowania w czasie ciągłym, modelowanych za pomocą równań różniczkowych i ciągłych systemów dynamicznych (Orponen 1997; Moore 1996).