Znaczenie złożonego wykładnika dla elektrotechniki
teraz wreszcie chciałbym zademonstrować znaczenie złożonego wykładnika tylko w kategoriach elektrotechniki. Starałem się pisać czytelnie i prosto, ale to może Ci nie wystarczyć.
właściwość konwersji między dodawaniem i mnożeniem
jedną z ważnych właściwości wykładniczych jest konwersja między dodawaniem i mnożeniem. W tym poście skupimy się na tej nieruchomości.
porozmawiamy o własności konwersji wykładniczej zarówno w linijce liczb rzeczywistych, jak i na płaszczyźnie zespolonej.
(1) liczba rzeczywista linia
liczba rzeczywista jest liczbą policzalną w świecie rzeczywistym. Liczby rzeczywiste leżą na osi 1 wymiaru zwanej osią X. Mają tylko wielkość. Innymi słowy, możemy odwzorować wszystkie liczby rzeczywiste na linię liczbową.
jak wyjaśnić dodawanie i mnożenie przez linię liczb? Umieść ” x “w linii liczbowej i wyobraź sobie, co zrobić, aby dodać” x ” do “1”. Zostaw punkt X sam i po prostu przesuń oś. Możemy przesunąć oś w lewo o jeden punkt i wtedy pozycja x staje się ‘x+1’. Ponieważ rozważamy dodawanie nie jako operator potrzebuje dwóch danych wejściowych, ale jako system, który można zdefiniować jako “+1”, możliwa jest interpretacja systematyczna i geometryczna w linii liczbowej. Dlatego dodawanie wzdłuż linii liczb oznacza przesuwanie osi. Jeśli chcesz dodać, przesuń oś na lewą stronę tak samo jak wielkość liczby mnożenia, a jeśli chcesz odjąć, przesuń oś na prawą stronę.
podobnie jak wyjaśnić mnożenie przez linię liczbową? Wyobraźcie sobie mnożenie ” x “przez ” a”. Możemy przenieść punkt ” x “do punktu “ax”, pozostawiając ” x “Sam przez rozciągnięcie osi” a ” razy. “x 2” oznacza dwukrotne zmniejszenie osi, A “x 0,5” oznacza dwukrotne rozszerzenie osi. Zapoznaj się z poniższym filmem, aby zrozumieć, co mam na myśli. Wyjaśnia mechanizm dodawania i mnożenia za pomocą osi dobrze.
(2) właściwość konwersji w wierszu liczb rzeczywistych.
za pomocą następującej własności wykładniczej możemy użyć funkcji wykładniczej do konwersji między dodawaniem i mnożeniem. Poniższy obraz przedstawia mechanizm konwersji. Widać, że równanie do około dodawania jest przekształcane do równania do około mnożenia w postaci wykładniczej. Dlatego dodawanie jest równe mnożeniu przez wykładniczy x. zauważ, że powinieneś używać formy wykładniczej jako systemu lub funkcji.
Co to znaczy? Pamiętaj dodawanie jest narażone na przesuwanie lub przesuwanie osi (linia liczb rzeczywistych), a mnożenie jest narażone na rozciąganie osi. W sumie przesunięcie osi jest równe rozciągnięciu osi nad formą wykładniczą. Oczywiście, każda inna funkcja wykładnicza, która ma drugą bazę jest OK. Oba różnią się tylko tym, jak bardzo jest rozciągnięta oś.
(3) płaszczyzna złożona
w przeciwieństwie do rzeczywistej linii liczbowej, kompleks składa się z 2 osi. Jedna to linia liczb rzeczywistych, a druga to linia liczb urojonych. Ponieważ leżą na płaszczyźnie 2-wymiarowej, liczby zespolone mają wielkość i fazę. Pomyśl o współrzędnych biegunowych.
jaka jest różnica między linią liczb rzeczywistych a płaszczyzną zespoloną? Istnieją tylko dwa sposoby działania w linii liczb rzeczywistych, przesuwanie i rozciąganie. Ale możemy obracać operację w złożonej płaszczyźnie. Rotacja oznacza modyfikację fazy liczby zespolonej z zachowaniem jej wielkości. Wyobraź sobie mechanizm rotacji. Więc musimy rozciągnąć płaszczyznę i obrócić płaszczyznę, aby pomnożyć liczbę zespoloną do liczby zespolonej, ponieważ mnożenie zmieniłoby zarówno wielkość, jak i fazę. Innymi słowy, mnożenie w płaszczyźnie zespolonej jest wyświetlane kombinacją rozciągania i obrotu.
na przykład liczba urojona i oznacza obrót o 90 stopni w płaszczyźnie zespolonej. A kwadrat i oznacza obrót o 180 stopni. W rzeczywistości liczba urojona nie ujawnia się w świecie rzeczywistym. Powodem jest to, że żyjemy tylko w osi rzeczywistej (1 D system liczbowy).
tożsamość Eulera
bazując na poprzedniej wiedzy, skupmy się na funkcji wykładniczej na płaszczyźnie zespolonej. Wykładniczy ma taką samą funkcjonalność zarówno w 1 D, jak i 2 D. Jak wiecie, oznacza konwersję między dodawaniem i mnożeniem. Jest więc bardzo jasne, że złożona wykładnicza zmiana mechanizmu przesuwania płaszczyzny do mechanizmu rozciągania i obracania płaszczyzny.
punktem jest odległość między dwoma punktami jest taka sama.
zatem tożsamość Eulera oznacza dodanie do i * pi jest równe mnożeniu przez jego wykładniczą postać. Ponadto mnożenie przez exp (i*pi) to obrót o 180 stopni w okręgu jednostkowym. Poniższe równanie jest tożsamością Eulera.
równanie Eulera
równanie Eulera jest po prostu rozszerzeniem tożsamości Eulera dla zmiennej anonimowej.
mając do czynienia z liczbą zespoloną, możemy użyć wielkości i fazy liczb. I exp (i*pi) oznacza obrót o 180 stopni wzdłuż okręgu jednostkowego. Następnie wyciągamy wniosek, że exp (i*x) oznacza obrót wzdłuż okręgu jednostkowego przez dedukcję.
wykładnik złożony(exp (i*x)) jest funkcją obrotową fazy x. zobacz poniższy obraz. Obrót w przedziale czasowym rzutuje Cień cosinusa i sinusa w płaszczyźnie czasu rzeczywistego i wyimaginowanej płaszczyźnie czasu. Rozwija funkcję cosinusa w osi rzeczywistej.(Rozwija również funkcję sinusową w osi urojonej.) W świecie rzeczywistym cosinus jest tylko funkcją okresową, jednak wykładnik zespolony na płaszczyźnie zespolonej implikuje obrót.
wreszcie problem jest prosty podczas modyfikowania funkcji cosinusa do funkcji wykładniczej zespolonej lub umieszczania jej na płaszczyźnie zespolonej. “Zmień problem i po prostu Rozwiąż problem koła.”
