Intervalo de Confiança para Variância

Quando se utiliza uma amostra para calcular uma estatística que estamos estimando uma população de parâmetro. É apenas uma estimativa e a amostra devido à natureza do desenho de uma amostra não pode criar um valor (estatística) que está próximo do valor real (parâmetro).

podemos calcular o intervalo de confiança sobre a estatística para determinar onde o parâmetro verdadeiro e muitas vezes desconhecido pode existir. Isto inclui o cálculo de uma estatística de variância.

se tiver de colher muitas amostras diferentes, Todas do mesmo tamanho, de uma população e traçar a estatística da variância, a distribuição resultante será provavelmente adequada a uma distribuição χ2. Traçar os meios cria uma distribuição normal que é simétrica e produz intervalos de confiança simétricos. A distribuição χ2 não é simétrica e produzirá intervalos assimétricos.

A Fórmula

O intervalo de confiança fórmula é

$$ \large\displaystyle \frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{\chi _{\frac{\alpha }{2},\text{ }n-1}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( n-1 \right){{s}^{2}}}{\chi _{1-\frac{\alpha }{2},\text{ }n-1}^{2}}$$

Onde s2 é a variância da amostra e n é o tamanho da amostra. Os graus de liberdade são n-1. Note que você vai precisar digitar a tabela χ2 duas vezes para cada lado do intervalo.

exemplo

digamos que temos 25 amostras e calculamos a variância da amostra como sendo 47. Qual é o intervalo de confiança de 90% sobre a variância? Em outras palavras, dentro de que intervalo a verdadeira variação populacional é provável de existir?

os graus de liberdade são df = 25 – 1 = 24. Assim, usando a tabela χ2 encontramos o menor valor χ2 é 36,42 e o superior é 13,85. Usando a fórmula acima podemos então calcular o intervalo de confiança.

$$ \large\displaystyle \begin{array}{l}\frac{\left( 25-1 \right)47}{\chi _{\frac{0.1}{2},\texto{ 25}-1}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 25-1 \right)47}{\chi _{1-\frac{0.1}{2},\texto{ 25}-1}^{2}}\\\frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.05,\texto{ 24}}^{2}}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{\chi _{0.95,\texto{ 24}}^{2}}\\\frac{\left( 24 \right)47}{os 36.42}\le {{\sigma }^{2}}\le \frac{\left( 24 \right)47}{13.85}\\30.97\le {{\sigma }^{2}}\le 81.44\end{array}$$

certifique-se de usar a variância da amostra diretamente. Às vezes você pode ser dado o desvio padrão da amostra – neste caso, você tem que quadrar esse valor e usar a variância da amostra na fórmula acima.

:Intervalos de confiança para a MTBF (artigo)

intervalos de tolerância para um conjunto Normal de dados baseado na distribuição (artigo)

estimativas de pontos e intervalos (artigo)