intuição de superfície fechada [fechada]

se você tivesse um pedaço de papel esférico, qualquer ponto no papel seria cercado por papel em duas dimensões. Podias cortar um pequeno círculo com esse ponto no centro. Se você tivesse uma folha de papel normal, a maioria do papel seria assim, mas haveria uma fronteira onde os pontos só têm papel de um lado e você só poderia cortar um semicírculo. Isso é o que” limite ” significa ao lidar com superfícies.Infelizmente, a definição que está a mostrar está incompleta. Uma superfície fechada também deve ser compacta. Minha definição favorita seria muito difícil de explicar, mas se você não está usando uma maneira realmente estranha de medir a distância, uma mais simples será suficiente. Deve ser fechado e limitado (sem relação com o “Fechado” e “limite” que eu já mencionei). “Fechado” aqui significa que qualquer ponto que não está no papel está completamente cercado por pontos que não estão no papel, então você não pode apenas ter uma folha de papel normal onde apenas a borda está faltando para que tecnicamente não tem limite. “Delimitada” significa que não se prolonga para sempre em qualquer direcção, por isso um avião não conta.

Edite:

eu acho que é provavelmente bom explicar porque compacto é uma coisa. Se você olhar para um intervalo aberto de zero a um, ele é limitado. Não dura para sempre. Mas você pode pegar uma função contínua dela (que preserva todos os tipos de estruturas que os matemáticos amam) e obter algo que continua para sempre. Por exemplo, $f(x) = 1/x$ é contínuo nesse intervalo, e mapeia-o para o intervalo aberto $(1,\infty)$. Se usares um intervalo fechado, não podes fazer isso. Qualquer função contínua de $ $ $ irá mapeá-lo para um conjunto limitado. Você poderia dizer $1/0 = \infty$, e topólogos frequentemente fazem isso, mas adicionando um infinito como esse mexe com a estrutura da linha real tanto que você está menos fazendo $ infinito do que você está fazendo a linha real finita.

compacto significa que se está a lidar com um conjunto no qual ser finito é inerente à estrutura de uma forma que não pode ser alterada por algo tão simples como uma função contínua.

uma superfície fechada é uma superfície que não dura para sempre, mas também não tem arestas. Gira em torno de si como uma esfera.