continuando da última vez, considere o número (normal, decimal)
com um número infinito de 3’s após o ponto decimal. Agora, você provavelmente sabe que isso representa 
. Mas porquê? Como definimos o que significa uma sequência infinita de dígitos?
A resposta padrão é que pensamos o infinito número decimal 
como um atalho para o limite da sequência
Que é, a sequência de números racionais 
, 
, e assim por diante, obter infinitamente perto de algum número, ou seja, , que é tido como o significado da sequência. (Estou acenando minhas mãos um pouco aqui; isso é geralmente feito mais preciso através da noção de uma seqüência de Cauchy. Mas a intuição é a mesma.)
Now, in the previous paragraph I said that the numbers , , get infinitely close to some number. O que queremos dizer com “perto”? Pode achar que é uma pergunta óbvia e tola. Mas acontece que coisas interessantes acontecem se dermos uma resposta diferente do habitual.
primeiramente, vamos pensar sobre o que “perto de” significa no contexto dos números reais usuais. A distância entre dois números 
e 
é definida como sendo 
, sendo 
denota o valor absoluto habitual de um número. Podemos pensar na função do valor absoluto como atribuindo um tamanho a cada número: 42 e -42 ambos têm o mesmo tamanho, ou seja, 42. Então a distância entre dois números é o tamanho de sua diferença.
o nome do jogo agora será definir uma função de tamanho diferente, que vamos escrever 
. Usando esta função de tamanho dar – nos-á um significado diferente de “perto de”: dois números e serão “próximos um do outro quando 
é pequeno.
