Relação de congruência

a definição de congruência depende do tipo de estrutura algébrica em consideração. Definições particulares de congruência podem ser feitas para grupos, anéis, espaços vetoriais, módulos, semigrupos, reticulados, e assim por diante. O tema comum é que uma congruência é uma relação de equivalência em um objeto algébrico que é compatível com a estrutura algébrica, no sentido de que as operações são bem definidas nas classes de equivalência.Por exemplo, um grupo é um objeto algébrico consistindo de um conjunto junto com uma única operação binária, satisfazendo certos axiomas. Se G {\displaystyle G}

é um grupo com a operação ∗ {\displaystyle \ast }

, uma relação de congruência em G {\displaystyle G}

é uma relação de equivalência ≡ {\displaystyle \equiv }

sobre os elementos de G {\displaystyle G}

satisfazendo g 1 ≡ g 2 {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}

e h 1 ≡ h 2 ⟹ g 1 ∗ h 1 ≡ g 2 ∗ h 2 {\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implica g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

para todos os g 1 {\displaystyle g_{1}}

, g 2 {\displaystyle g_{2}}

, h 1 {\displaystyle h_{1}}

, h 2 ∈ G, {\displaystyle h_{2}\in G}

. Para uma congruência em um grupo, A classe de equivalência contendo o elemento identidade é sempre um subgrupo normal, e as outras classes de equivalência são os co-conjuntos deste subgrupo. Juntos, essas classes de equivalência são os elementos de um grupo quociente.

quando uma estrutura algébrica inclui mais de uma operação, as relações de congruência são necessárias para serem compatíveis com cada operação. Por exemplo, um anel possui tanto a adição e a multiplicação, e uma relação de congruência em um anel deve satisfazer

r 1 + s 1 ≡ r 2 + s 2 e r 1 s 1 ≡ r 2 s 2 {\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ e }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

sempre que i 1 ≡ i 2 e s 1 ≡ s 2 {\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ e }}s_{1}\equiv s_{2}}

. Para uma congruência em um anel, a classe de equivalência contendo 0 é sempre um ideal de dois lados, e as duas operações no conjunto de classes de equivalência definem o anel quociente correspondente.

a noção geral de uma relação de congruência pode ser dada uma definição formal no contexto da álgebra universal, um campo que estuda ideias comuns a todas as estruturas algébricas. Nesta definição, uma relação de congruência é uma relação de equivalência ≡ {\displaystyle \equiv }

em uma estrutura algébrica que satisfaz μ ( a 1 , a 2 , … , a n ) ≡ µ ( 1 ‘, 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\right)}