Closed surface intuition [closed]

om du hade ett sfäriskt papper skulle någon punkt på papperet vara omgiven av papper i två dimensioner. Du kan klippa ut en liten cirkel med den punkten i mitten. Om du hade ett vanligt pappersark skulle det mesta av papperet vara så, men det skulle finnas en gräns där punkterna bara har papper på ena sidan och du bara kunde klippa ut en halvcirkel. Det är vad “gräns” betyder när man hanterar ytor.

tyvärr är definitionen du visar ofullständig. En sluten yta måste också vara kompakt. Min favoritdefinition skulle vara väldigt svår att förklara, men om du inte använder något riktigt konstigt sätt att mäta avstånd, kommer en enklare att räcka. Det måste vara stängt och avgränsat (ingen relation till den “stängda” och “gränsen” som jag redan nämnde). “Stängd” här betyder att varje punkt som inte finns på papperet är helt omgiven av punkter som inte finns på papperet, så du kan inte bara ha ett normalt pappersark där bara kanten saknas så att den tekniskt sett inte har någon gräns. “Bounded” betyder att det inte går för evigt i någon riktning, så ett plan skulle inte räkna.

redigera:

jag tycker att det är nog bra att förklara varför compact är en sak. Om du tittar på ett öppet intervall från noll till ett, är det begränsat. Det går inte för evigt. Men du kan ta en kontinuerlig funktion av det (som bevarar alla typer av strukturer matematiker älskar) och få något som pågår för evigt. Till exempel är $f(x) = 1/x$ kontinuerlig på det intervallet och kartlägger det till det öppna intervallet $(1,\infty)$. Om du använder ett slutet intervall kan du inte göra det. Varje kontinuerlig funktion av $$ kommer att kartlägga den till en avgränsad uppsättning. Du kan säga $1/0 = \infty$, och topologer gör det ofta, men lägger till en oändlighet som det rör sig om med strukturen på den verkliga linjen så mycket att du gör mindre $$ oändlig än du gör den verkliga linjen ändlig.

kompakt betyder att du har att göra med en uppsättning där att vara ändlig är inneboende i strukturen på ett sätt som inte kan ändras av något så enkelt som en kontinuerlig funktion.

en sluten yta är en som inte går för evigt men inte heller har kanter. Det slingrar bara runt sig själv som en sfär.