Kongruensförhållande
definitionen av en kongruens beror på vilken typ av algebraisk struktur som behandlas. Särskilda definitioner av kongruens kan göras för grupper, ringar, vektorrum, moduler, halvgrupper, gitter och så vidare. Det gemensamma temat är att en kongruens är en ekvivalensrelation på ett algebraiskt objekt som är kompatibelt med den algebraiska strukturen, i den meningen att operationerna är väldefinierade på ekvivalensklasserna.
till exempel är en grupp ett algebraiskt objekt som består av en uppsättning tillsammans med en enda binär operation som uppfyller vissa Axiom. Om G {\displaystyle G}
är en grupp med operation bisexuell {\displaystyle \AST }
, en kongruensrelation på G {\displaystyle G}
är en ekvivalensrelation equiv på elementen i g {\displaystyle G}
uppfyller g 1 kg g 2 {\displaystyle G_ {1}\equiv G_{2}\ \ \,}
och h 1 kg h 2 kg G 1 kg h 1 kg g 2 kg h 2 {\displaystyle \ \ \,H_{1}\equiv h_{2}\antyder g_{1} \ ast H_{1} \ equiv g_{2}\ast h_{2}}
för alla g 1 {\displaystyle g_{1}}
, g 2 {\displaystyle g_{2}}
, h 1 {\displaystyle h_{1}}
, h 2 kg {\displaystyle H_{2} \ i g}
. För en kongruens på en grupp är ekvivalensklassen som innehåller identitetselementet alltid en normal undergrupp, och de andra ekvivalensklasserna är cosets för denna undergrupp. Tillsammans är dessa ekvivalensklasser elementen i en kvotgrupp.
när en algebraisk struktur innehåller mer än en operation krävs kongruensrelationer för att vara kompatibla med varje operation. Till exempel har en ring både addition och multiplikation, och en kongruensrelation på en ring måste uppfylla
r 1 + s 1 kg r 2 + s 2 och r 1 s 1 kg r 2 s 2 {\displaystyle r_{1} + s_{1} \ equiv r_{2}+s_{2} {\text{ och }}r_{1}s_{1} \ equiv r_{2}s_{2}}
när r 1 oc r 2 och s 1 oc s 2 {\displaystyle r_{1} \ equiv r_{2} {\text{ och }}s_{1}\equiv s_{2}}
. För en kongruens på en ring är ekvivalensklassen som innehåller 0 alltid ett dubbelsidigt ideal, och de två operationerna på uppsättningen ekvivalensklasser definierar motsvarande kvotring.
det allmänna begreppet kongruensförhållande kan ges en formell definition i samband med universell algebra, ett fält som studerar ideer som är gemensamma för alla algebraiska strukturer. I den här inställningen är en kongruensrelation en ekvivalensrelation 2 {\displaystyle \ equiv }
på en algebraisk struktur som uppfyller följande: (a 1 , a 2 , … , a n) (a 1 ‘, a 2 ‘, … , a n ‘ ) {\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}’\right)}
