Fortsätt från förra gången, överväga (normal, decimal) nummer
med ett oändligt antal 3 efter decimalpunkten. Nu vet du förmodligen att detta representerar 
. Men varför? Hur definierar vi vad en sådan oändlig sekvens av siffror betyder?
standardsvaret är att vi tänker på det oändliga decimaltalet 
som en stenografi för gränsen för sekvensen
det vill säga sekvensen av rationella tal 
, 
och så vidare, kommer oändligt nära ett antal, nämligen , som tas som betydelsen av sekvensen. (Jag vinkar mina händer lite här; Detta görs vanligtvis mer exakt genom begreppet en Cauchy-sekvens. Men intuitionen är densamma.)
nu, i föregående stycke sa jag att siffrorna , , kommer oändligt nära ett antal. Vad menar vi med “nära”? Du kanske tycker att det här är en dum, uppenbar fråga. Men det visar sig att intressanta saker händer om vi ger ett annat svar än vanligt.
Låt oss först tänka på vad “nära” betyder i samband med de vanliga reella talen. Avståndet mellan två tal 
och 
definieras som 
, där 
anger det vanliga absoluta värdet för ett tal. Vi kan tänka på absolutvärdesfunktionen som att tilldela en storlek till varje nummer: 42 och -42 har båda samma storlek, nämligen 42. Så avståndet mellan två siffror är storleken på deras skillnad.
namnet på spelet nu kommer att vara att definiera en annan storlek funktion, som vi kommer att skriva 
. Att använda denna storleksfunktion ger oss en annan betydelse av “nära”: två siffror och kommer att vara “nära” varandra när 
är liten.
