Vervollständige den Würfel!!! (Seite 1) / Formeln / Mathe macht Spaß Forum
Hallo anonimnystefy;
Ich habe die von Ihnen angeforderte Textdatei kopiert. Inkonsistente Klammern und eine fehlende Klammer machen dies verdächtig. Ich habe versucht, es aufzuräumen, aber ich konnte nur raten, wohin die fehlende Halterung gehen sollte.
Eine andere Methode zur Lösung einer kubischen Polynomgleichung, die unabhängig von Paul A. Torres und Robert A. Warren vorgelegt wurde. Es basiert auf der Idee, “den Würfel zu vervollständigen”, indem die Dinge so angeordnet werden, dass drei der vier Terme drei der vier Terme eines perfekten Würfels sind.
Beginnen Sie mit der kubischen Gleichung
Wenn
die ersten drei Terme die ersten drei Terme eines perfekten Würfels sind, nämlich
, können Sie den Würfel “vervollständigen”, indem Sie c von beiden Seiten subtrahieren und den fehlenden Term des Würfels
zu beiden Seiten hinzufügen. Unter Hinweis darauf, dass
Sie erhalten:
Indem Sie die Kubikwurzel der linken Seite und die drei Kubikwurzeln der rechten Seite nehmen, erhalten Sie:
Dies sind die Wurzeln der gesuchten kubischen Gleichung.
Wenn
dann gehen Sie wie folgt vor. Setze x = y + z , wobei y eine unbestimmte und z eine Funktion von a, b und c ist, die unten gefunden wird. Dann:
wobei
Die ersten drei Terme dieser Gleichung in y die eines perfekten Würfels sind, wenn
was passiert, wenn
was in diesem Fall nicht passieren kann, so dass wir scheinbar nichts gewonnen haben. Die letzten drei Terme dieser Gleichung in y sind jedoch die eines perfekten Würfels iff
das heißt iff
wobei
Seit
dann
und wir haben eine echte quadratische Gleichung, die Resolvent quadratic genannt wird. Nun wählen wir z als Wurzel dieser quadratischen Gleichung.
Wenn
dann ist jede Wurzel der GCD auch eine Wurzel der ursprünglichen kubischen Gleichung in x. Sobald Sie mindestens eine Wurzel haben, wird das Problem, die anderen Wurzeln zu finden, auf das Lösen einer quadratischen oder linearen Gleichung reduziert.
Wenn
dann kann keiner der Werte von z f = 0 machen, so dass wir fortan annehmen können, dass f ungleich Null ist. Jede Wurzel z des Quadrats reicht aus, aber wir müssen eine davon auswählen. Wir wählen willkürlich den mit einem Pluszeichen vor dem Radikal aus:
Setzen Sie z in der Gleichung für y auf diesen Wert und dividieren Sie ihn auf beiden Seiten durch f. Dann sind die letzten drei Terme des Kubischen in y die eines perfekten Würfels, nämlich:
So können wir den Würfel vervollständigen, um ihn zu lösen. Wir tun dies, indem wir
von beiden Seiten subtrahieren und dann den fehlenden Term des Kubischen,
zu beiden Seiten hinzufügen und
Jetzt haben Sie die Werte von y. Fügen Sie jeweils z hinzu, um die Werte von x zu erhalten:
Dies sind die Wurzeln der gesuchten kubischen Gleichung.
Beispiel:
Wir haben a = 6, b = 9, c = 6.
Dann
Die quadratische Auflösung ist
die kubische in y ist
Dann ist eine Wurzel
Nach viel Vereinfachung erhalten Sie
Und zwei andere Wurzeln, die er nicht zur Verfügung stellt. Ich überprüfte die, die er gegeben hat, und es ist richtig.
