Betrachten Sie ab dem letzten Mal die (normale, dezimale) Zahl
mit einer unendlichen Anzahl von 3 nach dem Komma. Nun, Sie wissen wahrscheinlich, dass dies 
darstellt. Aber warum? Wie definieren wir, was eine solche unendliche Ziffernfolge bedeutet?
Die Standardantwort lautet, dass wir uns die unendliche Dezimalzahl 
als Abkürzung für die Grenze der Sequenz vorstellen
Das heißt, die Folge rationaler Zahlen 
, 
usw. kommt einer Zahl unendlich nahe, nämlich , was als Bedeutung der Sequenz angenommen wird. (Ich winke hier ein wenig mit den Händen; Dies wird normalerweise durch die Vorstellung einer Cauchy-Sequenz präzisiert. Aber die Intuition ist die gleiche.)
Im vorherigen Absatz habe ich gesagt, dass die Zahlen , einer Zahl unendlich nahe kommen. Was meinen wir mit “nah dran”? Sie mögen dies für eine dumme, offensichtliche Frage halten. Es stellt sich jedoch heraus, dass interessante Dinge passieren, wenn wir eine andere Antwort als üblich geben.
Lassen Sie uns zunächst darüber nachdenken, was “nahe” im Kontext der üblichen reellen Zahlen bedeutet. Der Abstand zwischen zwei Zahlen 
und 
ist definiert als 
, wobei 
den üblichen Absolutwert einer Zahl bezeichnet. Wir können uns die Absolutwertfunktion so vorstellen, dass jeder Zahl eine Größe zugewiesen wird: 42 und -42 haben beide die gleiche Größe, nämlich 42. Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist also die Größe ihrer Differenz.
Der Name des Spiels wird nun sein, eine andere Größenfunktion zu definieren, die wir schreiben werden 
. Die Verwendung dieser Größenfunktion gibt uns eine andere Bedeutung von “nahe bei”: Zwei Zahlen und sind “nahe beieinander”, wenn 
klein ist.
