Konstitutivní rovnice

Upravit

V obou klasické a kvantové fyziky, přesnou dynamiku systému tvoří soubor spolu diferenciálních rovnic, které jsou téměř vždy příliš komplikované, aby se vyřešil přesně, a to i na úrovni statistické mechaniky. V souvislosti elektromagnetismu, tato poznámka se vztahuje nejen na dynamiku volných nábojů a proudů (což zadejte Maxwellových rovnic přímo), ale také dynamiku vázaných nábojů a proudů (což zadejte Maxwellových rovnic prostřednictvím konstitutivní vztahy). V důsledku toho se obvykle používají různá aproximační schémata.

například, v reálném materiály, komplexní transportní rovnice musí být řešeny určit časové a prostorové reakci poplatků, například, Boltzmannova rovnice nebo Fokker–Planck rovnice nebo Navier–Stokesova rovnice. Například viz magnetohydrodynamika, dynamika tekutin, elektrohydrodynamika, supravodivost, plazmové modelování. Vyvinul se celý fyzický aparát pro řešení těchto záležitostí. Viz například teorie lineární odezvy, Green-Kubovy vztahy a Greenova funkce (teorie mnoha těl).

Tyto složité teorie poskytují detailní vzorce pro konstitutivní vztahy popisující elektrické odezvy z různých materiálů, jako je permittivities, propustnost, vodivosti a tak dále.

je nutné určit vztahy mezi posunutí pole D a E a magnetického H pole H a B, než dělat výpočty v elektromagnetismu (tj. použití Maxwellovy makroskopické rovnice). Tyto rovnice specifikují odezvu vázaného náboje a proudu na aplikovaná pole a nazývají se konstitutivní vztahy.

stanovení konstitutivního vztahu mezi pomocnými poli D A H a poli E A B začíná definicí samotných pomocných polí:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Než se dostanete k výpočtu M A P, je užitečné prozkoumat následující zvláštní případy.

Bez magnetických nebo dielektrických materialsEdit

V neexistenci magnetických nebo dielektrických materiálů, konstitutivní vztahy jsou jednoduché:

D = ε 0 E , H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

kde ε0 a μ0 jsou dva univerzální konstanty, se nazývá permitivita volného místa a propustnosti volného prostoru, respektive.

Izotropní lineární materialsEdit

V (izotropní) lineární materiál, kde P je proporcionální k E a M je úměrné B, konstitutivní vztahy jsou také jednoduché. Z hlediska polarizace P a magnetizaci M jsou:

P = ε 0 χ e E , M = χ m, H , {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

kde xe a xm jsou elektrické a magnetické vnímavosti daného materiálu, resp. Z hlediska D A H jsou konstitutivní vztahy:

D = ε E , H = B / μ , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu}

, kde ε a μ jsou konstanty (které závisí na materiálu), která se nazývá permitivita a permeabilita, respektive materiálu. Ty souvisejí s vnímavostí:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Obecné caseEdit

Pro real-svět materiálů, konstitutivní vztahy nejsou lineární, s výjimkou přibližně. Výpočet konstitutivních vztahů z prvních principů zahrnuje určení toho, jak jsou P A M vytvořeny z daného E A B. Tyto vztahy mohou být empirické (založené přímo na měřeních) nebo teoretické (založené na statistické mechanice, teorii transportu nebo jiných nástrojích fyziky kondenzovaných látek). Použitý detail může být makroskopický nebo mikroskopický, v závislosti na úrovni nezbytné pro zkoumaný problém.

obecně platí, konstitutivní vztahy mohou obvykle být ještě napsáno:

D = ε E , H = μ − 1 B {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }

ale ε a μ nejsou obecně jednoduché konstanty, ale spíše funkce E, B, pozice a času a tenzorické povahy. Příklady jsou:

• disperze a absorpce, kde ε a μ jsou funkce frekvence. (Kauzalita nedovoluje, aby materiály byly nedisperzivní; viz například vztahy Kramers–Kronig.) Ani pole nemusí být ve fázi, což vede ke komplexnosti ε a μ. To také vede k absorpci.
• nelinearita, kde ε a μ jsou funkce E A B.
• Anizotropie (např. dvojlom nebo dichroismu), které nastane, když ε a μ jsou druhé v pořadí tenzory,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j m i j H j . {\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\;B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}

• závislost P A M na E A B na jiných místech a časech. To by mohlo být vzhledem k prostorové nehomogenity; například v domained struktury, heterostructure nebo tekutých krystalů, nebo nejčastěji v situaci, kdy tam jsou prostě více materiálů okupační různých oblastech vesmíru. Nebo to může být způsobeno časově měnícím se médiem nebo hysterezí. V takových případech P a M lze vypočítat jako:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ‘,t’),}, ve které permitivita a permeabilita funkce jsou nahrazeny integrály přes obecnější elektrické a magnetické vnímavosti. V homogenních materiálech je závislost na jiných místech známá jako prostorová disperze.

Jako variace z těchto příkladů, obecně materiály jsou bianisotropic kde D a B závisí na E a H, přes další vazebné konstanty ξ a ζ:

D = ε E + ξ H , B = μ H + ζ E . {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}

v praxi mají některé vlastnosti materiálů za určitých okolností zanedbatelný dopad, což umožňuje zanedbání malých účinků. Například: optické nelinearity mohou být zanedbávány pro nízké intenzity pole; materiál disperze je důležité, když frekvence je omezena na úzké šířky pásma; materiál absorpce lze zanedbat pro vlnové délky, pro které materiál je transparentní; a kovy s konečnou vodivost často jsou sblíženy v mikrovlnce nebo delší vlnové délky jako ideální kovů s nekonečnou vodivostí (tvoří těžké překážky s nulovou kožní hloubka ostrosti penetrace).

některé umělé materiály, jako jsou metamateriály a fotonické krystaly, jsou navrženy tak, aby měly přizpůsobenou permitivitu a propustnost.

výpočet konstitutivních vztahůeditovat

teoretický výpočet materiálu je konstitutivní rovnice je běžné, důležité a někdy obtížný úkol v teoretické kondenzované hmoty, fyzika a vědy o materiálech. Obecně jsou konstitutivní rovnice teoreticky určeny výpočtem toho, jak molekula reaguje na místní pole pomocí Lorentzovy síly. Může být nutné modelovat i jiné síly, jako jsou vibrace mřížky v krystalech nebo vazebné síly. Zahrnutí všech sil vede ke změnám v molekule, které se používají k výpočtu P A M jako funkce místních polí.

místní pole se liší od aplikovaných polí díky polím produkovaným polarizací a magnetizací Blízkého materiálu; efekt, který je také třeba modelovat. Dále, skutečné materiály nejsou spojitá média; místní pole skutečných materiálů se v atomovém měřítku divoce liší. Pole musí být zprůměrována na vhodný objem, aby se vytvořila aproximace kontinua.

tyto aproximace kontinua často vyžadují určitý typ kvantové mechanické analýzy, jako je kvantová teorie pole aplikovaná na fyziku kondenzovaných látek. Viz například teorie hustoty, vztahy Green-Kubo a Greenova funkce.

jinou sadu homogenizace metody (odvíjející se od tradice v léčbě materiálů, jako jsou konglomeráty a lamináty) jsou založeny na sbližování o nehomogenní materiál homogenní efektivní médium (platí pro buzení s vlnové délky mnohem větší, než rozsah nehomogenity).

teoretické modelování vlastností kontinua-aproximace mnoha reálných materiálů se často spoléhá také na experimentální měření. Například, ε izolátor na nízké frekvence může být měřena tím, že do paralelní desky kondenzátoru, a ε na optické-světelné frekvence je často měřena pomocí elipsometrie.

termoelektrické a elektromagnetické vlastnosti matterEdit

tyto konstitutivní rovnice se často používají v krystalografii, oboru fyziky pevných látek.