Konstitutiivinen yhtälö

Edit

sekä klassisessa että kvanttifysiikassa systeemin tarkka dynamiikka muodostaa joukon kytkettyjä differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat lähes aina liian monimutkaisia ratkaistaviksi tarkasti, jopa tilastollisen mekaniikan tasolla. Sähkömagnetismin yhteydessä tämä huomautus koskee paitsi vapaiden varausten ja virtojen dynamiikkaa (jotka tulevat Maxwellin yhtälöihin suoraan), myös sidottujen varausten ja virtojen dynamiikkaa (jotka tulevat Maxwellin yhtälöihin konstitutiivisten suhteiden kautta). Tämän vuoksi käytetään tyypillisesti erilaisia approksimaatiojärjestelmiä.

esimerkiksi reaaliaineissa on ratkaistava kompleksisia kuljetusyhtälöitä, joilla voidaan määrittää varausten aika–ja tilavaste, esimerkiksi Boltzmannin yhtälö tai Fokkerin–Planckin yhtälö tai Navierin-Stokesin yhtälö. Esimerkiksi katso magnetohydrodynamiikka, fluididynamiikka, elektrohydrodynamiikka, suprajohtavuus, plasmamallinnus. On kehittynyt kokonainen fyysinen koneisto näiden asioiden käsittelemiseksi. Katso esimerkiksi lineaarinen vasteteoria, Green-Kubo-suhteet ja Greenin funktio (monen kappaleen teoria).

nämä monimutkaiset teoriat tarjoavat yksityiskohtaisia kaavoja konstitutiivisille suhteille, jotka kuvaavat erilaisten materiaalien sähköistä vastetta, kuten permittiviteettejä, permeabiliteettejä, johtavuutta ja niin edelleen.

on tarpeen määritellä siirtymäkentän D ja E sekä magneettisen h-kentän H ja B väliset suhteet ennen kuin tehdään laskelmia sähkömagnetismissa (eli sovelletaan Maxwellin makroskooppisia yhtälöitä). Nämä yhtälöt määrittelevät sidotun varauksen ja virran vasteen sovelletuille kentille, ja niitä kutsutaan konstitutiivisiksi suhteiksi.

apukenttien D ja H sekä E ja B konstitutiivisen suhteen määrittäminen alkaa itse apukenttien määrittelyllä:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Ennen m: n ja P: n laskemista on hyödyllistä tutkia seuraavia erityistapauksia.

ilman magneettisia tai dielektrisiä aineitaedit

magneettisten tai dielektristen materiaalien puuttuessa konstitutiivisuhteet ovat yksinkertaiset:

d = ε 0 E, H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E},\;\;\; \mathbf {h} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

missä ε0 ja μ0 ovat kaksi universaalia vakiota, joita kutsutaan vastaavasti vapaan tilan permittiivisyydeksi ja vapaan tilan permeabiliteetiksi.

isotrooppinen lineaarinen aineisto on

(isotrooppisessa) lineaarisessa aineistossa, jossa P on verrannollinen E: hen ja M on verrannollinen B: hen, konstitutiivisuhteet ovat myös suoraviivaisia. Polarisaation P ja magnetisaation M osalta ne ovat:

p = ε 0 χ E E, M = χ m H, {\displaystyle \mathbf {p} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E},\;\;\; \mathbf {m} =\chi _{m}\mathbf {H},}

missä xe ja xm ovat A: n sähköiset ja magneettiset alttiudet annettu materiaali vastaavasti. D: n ja H: n suhteen konstitutiivisuhteet ovat:

d = ε E , H = B / μ , {\displaystyle \mathbf {d} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {h} =\mathbf {b} /\mu ,}

missä ε ja μ ovat vakioita (jotka riippuvat materiaalista), joita kutsutaan vastaavasti materiaalin permittiivisyydeksi ja permeabiliteetiksi. Nämä liittyvät herkkyyteen:

ε / ε 0 = ε r = ( χ E + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

yleistä

reaalimaailman materiaaleissa konstitutiivisuhteet eivät ole lineaarisia, paitsi suunnilleen. Laskettaessa konstitutiivisia suhteita ensimmäisistä periaatteista on määritettävä, miten P ja M on luotu annetusta E: stä ja B: stä. Nämä suhteet voivat olla empiirisiä (perustuvat suoraan mittauksiin) tai teoreettisia (perustuvat tilastolliseen mekaniikkaan, kuljetusteoriaan tai muihin tiivistyneen aineen fysiikan välineisiin). Käytetty yksityiskohta voi olla makroskooppinen tai mikroskooppinen, riippuen siitä, mikä on tarpeen tarkasteltavan ongelman.

konstitutiivisuhteet voidaan yleensä vielä kirjoittaa:

d = ε E, H = μ − 1 B {\displaystyle \mathbf {d} = \varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {b} }

mutta ε ja μ eivät ole yleensä yksinkertaisia vakioita, vaan luonteeltaan E -, B -, asema-ja aikafunktioita sekä tensorialeja. Esimerkkejä ovat:

• dispersio ja absorptio, joissa ε ja μ ovat taajuuden funktioita. (Kausaliteetti ei salli materiaalien olla ei-käänteisiä; KS.esimerkiksi Kramers–Kronig-suhteet.) Myöskään kenttien ei tarvitse olla vaiheittain, mikä johtaa ε: n ja μ: n kompleksisuuteen. Tämä johtaa myös imeytymiseen.
• epälineaarisuus, jossa ε Ja μ ovat E: n ja B: n funktioita.
• anisotropia (kuten birefringenssi tai dikroismi), joka esiintyy ε: n ja μ: n ollessa toisarvoisia tensoreita,

D I = ∑ J ε I j E J B I = ∑ J μ I J h . {\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\;B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}

• P: n ja M: n riippuvuus E: stä ja B: stä muissa paikoissa ja aikoina. Tämä voi johtua avaruuden epähomogeenisuudesta; esimerkiksi domained structure, heterostructure tai nestekide, tai yleisimmin tilanteessa, jossa on yksinkertaisesti useita materiaaleja, jotka miehittävät eri alueilla tilaa. Tai se voi johtua aikavaihtelevasta väliaineesta tai hystereesistä. Tällöin P ja M voidaan laskea seuraavasti:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 R ‘d t’ χ ^ E ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( R ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,T’;\mathbf {e} )\,\mathbf {e} (\mathbf {r} ‘,t’)} m ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {b} (\mathbf {R} ‘,T’),}, jossa permittiivisyys-ja permeabiliteettifunktiot korvataan integraaleilla yleisempien sähkö-ja magneettisten herkkyyksien yli. Homogeenisissa materiaaleissa riippuvuutta muista paikoista kutsutaan spatiaaliseksi hajonnaksi.

näiden esimerkkien variaationa yleisesti materiaalit ovat bianisotrooppisia, joissa D ja B riippuvat sekä E: stä että H: sta ylimääräisten kytkentävakioiden (ζ Ja ζ:

d = ε e + π H, B = μ h + ζ E) kautta . {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {b} = \mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}

käytännössä joillakin materiaalien ominaisuuksilla on tietyissä olosuhteissa vähäinen vaikutus, mikä mahdollistaa vähäisten vaikutusten laiminlyönnin. Esimerkiksi: Optiset epälineaarisuudet voidaan laiminlyödä matalien kenttävoimakkuuksien vuoksi; materiaalin hajonta ei ole tärkeää, kun taajuus on rajoitettu kapealle kaistanleveydelle; materiaalin imeytymistä voidaan laiminlyödä aallonpituuksilla, joille materiaali on läpinäkyvä; ja metallit, joilla on rajallinen johtavuus, ovat usein approksimoituja mikroaalto-tai pidemmillä aallonpituuksilla täydellisinä metalleina, joilla on ääretön johtavuus (muodostaen kovia esteitä, joilla ei ole ihon syvyyttä kenttäpinnoituksessa).

jotkut ihmisen valmistamat materiaalit, kuten metamateriaalit ja fotoniset kiteet, on suunniteltu niin, että niillä on räätälöity permittiivisyys ja permeabiliteetti.

perustuslakisuhteiden laskeminen

materiaalin konstitutiivisten yhtälöiden teoreettinen laskeminen on yleinen, tärkeä ja joskus vaikea tehtävä teoreettisessa tiivistetyn aineen fysiikassa ja materiaalitieteessä. Yleensä konstitutiiviyhtälöt määritellään teoreettisesti laskemalla, miten molekyyli reagoi paikallisiin kenttiin Lorentzin voiman kautta. Myös muita voimia voidaan joutua mallintamaan, kuten hilavärähdyksiä kiteissä tai sidosvoimia. Kaikki voimat mukaan lukien molekyylissä tapahtuu muutoksia, joiden avulla lasketaan P ja M paikallisten kenttien funktiona.

paikalliset kentät eroavat sovelletuista kentistä johtuen läheisen materiaalin polarisaation ja magnetoitumisen tuottamista kentistä; tätä efektiä on myös mallinnettava. Reaaliaineet eivät myöskään ole jatkuvia väliaineita, vaan reaaliaineiden paikalliset kentät vaihtelevat hurjasti atomimittakaavassa. Kentät on keskimäärin yli sopiva määrä muodostaa jatkumo lähentämisestä.

nämä jatkumon likiarvot vaativat usein jonkinlaista kvanttimekaanista analyysia, kuten kvanttikenttäteoriaa sovellettuna tiivistyneen aineen fysiikkaan. Katso esimerkiksi tiheysfunktionaaliteoria, Green-Kubo-suhteet ja Greenin funktio.

erilaiset homogenisointimenetelmät (jotka perustuvat konglomeraattien ja laminaattien kaltaisten materiaalien käsittelyyn liittyvään perinteeseen) perustuvat epähomogeenisen materiaalin approksimointiin homogeenisella efektiivisellä väliaineella (pätee excitaatioihin, joiden aallonpituudet ovat paljon suurempia kuin epähomogeenisuuden asteikko).

monien reaaliaineiden jatkumo-approksimaatio-ominaisuuksien teoreettinen mallinnus perustuu usein myös kokeelliseen mittaukseen. Esimerkiksi matalilla taajuuksilla toimivan eristeen ε voidaan mitata tekemällä siitä rinnakkainen levykondensaattori, ja ε optisilla valotaajuuksilla mitataan usein ellipsometrialla.

mattereditin

termosähköiset ja sähkömagneettiset ominaisuudet näitä konstitutiivisia yhtälöitä käytetään usein kristallografiassa, joka on kiinteän olomuodon fysiikan osa-alue.