Équation constitutive

Edit

En physique classique et quantique, la dynamique précise d’un système forme un ensemble d’équations différentielles couplées, qui sont presque toujours trop compliquées pour être résolues exactement, même au niveau de la mécanique statistique. Dans le contexte de l’électromagnétisme, cette remarque s’applique non seulement à la dynamique des charges et des courants libres (qui entrent directement dans les équations de Maxwell), mais aussi à la dynamique des charges et des courants liés (qui entrent dans les équations de Maxwell par les relations constitutives). En conséquence, divers schémas d’approximation sont généralement utilisés.

Par exemple, dans les matériaux réels, des équations de transport complexes doivent être résolues pour déterminer la réponse temporelle et spatiale des charges, par exemple, l’équation de Boltzmann ou l’équation de Fokker–Planck ou les équations de Navier–Stokes. Par exemple, voir magnétohydrodynamique, dynamique des fluides, électrohydrodynamique, supraconductivité, modélisation plasma. Tout un appareil physique pour traiter ces questions s’est développé. Voir par exemple la théorie de la réponse linéaire, les relations de Green–Kubo et la fonction de Green (théorie de plusieurs corps).

Ces théories complexes fournissent des formules détaillées pour les relations constitutives décrivant la réponse électrique de divers matériaux, tels que les permittivités, les perméabilités, les conductivités, etc.

Il est nécessaire de spécifier les relations entre le champ de déplacement D et E, et le champ magnétique H H et B, avant de faire des calculs en électromagnétisme (c’est-à-dire en appliquant les équations macroscopiques de Maxwell). Ces équations spécifient la réponse de la charge et du courant liés aux champs appliqués et sont appelées relations constitutives.

La détermination de la relation constitutive entre les champs auxiliaires D et H et les champs E et B commence par la définition des champs auxiliaires eux-mêmes:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Avant de savoir comment calculer M et P, il est utile d’examiner les cas particuliers suivants.

Sans matériaux magnétiques ou diélectriquesdit

En l’absence de matériaux magnétiques ou diélectriques, les relations constitutives sont simples:

D = ε 0 E, H = B/μ 0 {\displaystyle\mathbf{D} = \varepsilon_{0}\mathbf{E}, \;\;\; \mathbf{H} = \mathbf{B}/ \mu_{0}}

où ε0 et μ0 sont deux constantes universelles, appelées respectivement permittivité de l’espace libre et perméabilité de l’espace libre.

Matériaux linéaires isotropiquesdit

Dans un matériau linéaire (isotrope), où P est proportionnel à E et M est proportionnel à B, les relations constitutives sont également simples. En termes de polarisation P et d’aimantation M, ils sont:

P = ε 0 χ E E, M = χ m H, {\displaystyle\mathbf{P} = \varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E}, \; \;\; \mathbf{M} = \chi_{m}\mathbf{H}, }

où xe et xm sont respectivement les susceptibilités électrique et magnétique d’un matériau donné. En termes de D et H, les relations constitutives sont:

D = ε E, H = B /μ, {\displaystyle\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}, \; \; \; \mathbf {H} = \mathbf{B}/ \mu,}

où ε et μ sont des constantes (qui dépendent du matériau), appelées respectivement permittivité et perméabilité du matériau. Ceux-ci sont liés aux susceptibilités par:

ε/ε 0 = ε r =(χ e +1), μ/μ 0 = μ r =(χ m+1) {\displaystyle\varepsilon/ \varepsilon _{0} = \varepsilon _{r} =(\chi_{e} +1), \quad\mu/\mu _ {0} = \mu_{r} =(\chi_{m} +1)}

Cas généraldit

Pour les matériaux du monde réel, les relations constitutives ne sont pas linéaires, sauf approximativement. Le calcul des relations constitutives à partir des premiers principes implique de déterminer comment P et M sont créés à partir d’un E et d’un B donnés. Ces relations peuvent être empiriques (basées directement sur des mesures), ou théoriques (basées sur la mécanique statistique, la théorie du transport ou d’autres outils de la physique de la matière condensée). Le détail utilisé peut être macroscopique ou microscopique, selon le niveau nécessaire au problème examiné.

En général, les relations constitutives peuvent toujours s’écrire:

D = ε E, H= μ-1 B {\displaystyle\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} ,\;\;\;\mathbf{H} = \mu^{-1} \mathbf{B}}

mais ε et μ ne sont pas, en général, des constantes simples, mais plutôt des fonctions de E, B, de position et de temps, et de nature tensorielle. Des exemples sont:

• Dispersion et absorption où ε et μ sont des fonctions de fréquence. (La causalité ne permet pas aux matériaux d’être non dispersifs ; voir, par exemple, les relations de Kramers–Kronig.) Les champs n’ont pas non plus besoin d’être en phase, ce qui conduit à la complexité de ε et μ. Cela conduit également à l’absorption.
• Non-linéarité où ε et μ sont des fonctions de E et B.
• Anisotropie (telle que la biréfringence ou le dichroïsme) qui se produit lorsque ε et μ sont des tenseurs de second rang,

D i = ∑ j ε i j E j b i = ∑ j μ i j h j. {\displaystyle D_{i} = \sum_{j}\varepsilon_{ij}E_{j}\;\;\;B_{i} = \sum_{j}\mu_{ij}H_{j}.}

• Dépendance de P et M sur E et B à d’autres endroits et à d’autres moments. Cela pourrait être dû à une inhomogénéité spatiale; par exemple dans une structure dominée, une hétérostructure ou un cristal liquide, ou le plus souvent dans la situation où il existe simplement plusieurs matériaux occupant différentes régions de l’espace. Ou cela pourrait être dû à un milieu variant dans le temps ou à une hystérésis. Dans de tels cas, P et M peuvent être calculés comme suit:

P(r, t) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ^e(r, r’, t, t’; E) E(r’, t’) {\displaystyle\mathbf{P}(\mathbf{r},t) = \varepsilon _{0}\int{\rm{d}}^{3} \mathbf{r}’ {\rm{d}} t’\ J’ai un problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème avec le fait que je n’ai pas de problème. ; B) B(r’, t’), {\displaystyle\mathbf{M}(\mathbf{r},t) = {\frac{1}{\mu_{0}}} \int{\rm{d}}^{3}\mathbf{r}'{\rm{d}} t’\; {\hat{\chi}} _{m}(\mathbf{r},\mathbf{r}’, t, t’; \mathbf{B}) \,\mathbf{ B}(\mathbf{r}’, t’), } dans lequel les fonctions de permittivité et de perméabilité sont remplacées par des intégrales sur les susceptibilités électriques et magnétiques plus générales. Dans les matériaux homogènes, la dépendance à d’autres emplacements est connue sous le nom de dispersion spatiale.

En variante de ces exemples, les matériaux sont en général bianisotropes où D et B dépendent à la fois de E et de H, à travers les constantes de couplage additionnelles ξ et ζ :

D = ε E + ξ H, B = μ H + ζ E. {\displaystyle\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} +\xi\mathbf{H}\,,\quad\mathbf{B} =\mu\mathbf{H} +\zeta\mathbf{E}.}

En pratique, certaines propriétés des matériaux ont un impact négligeable dans des circonstances particulières, ce qui permet de négliger les petits effets. Par exemple : les non-linéarités optiques peuvent être négligées pour de faibles intensités de champ; la dispersion des matériaux est sans importance lorsque la fréquence est limitée à une bande passante étroite; l’absorption des matériaux peut être négligée pour les longueurs d’onde pour lesquelles un matériau est transparent; et les métaux à conductivité finie sont souvent approximés aux micro-ondes ou aux longueurs d’onde plus longues comme des métaux parfaits à conductivité infinie (formant des barrières dures avec une profondeur de pénétration de champ nulle).

Certains matériaux artificiels tels que les métamatériaux et les cristaux photoniques sont conçus pour avoir une permittivité et une perméabilité personnalisées.

Calcul des relations constitutives

Le calcul théorique des équations constitutives d’un matériau est une tâche courante, importante et parfois difficile en physique théorique de la matière condensée et en science des matériaux. En général, les équations constitutives sont théoriquement déterminées en calculant comment une molécule répond aux champs locaux par la force de Lorentz. D’autres forces peuvent également devoir être modélisées, telles que les vibrations du réseau dans les cristaux ou les forces de liaison. L’inclusion de toutes les forces conduit à des changements dans la molécule qui sont utilisés pour calculer P et M en fonction des champs locaux.

Les champs locaux diffèrent des champs appliqués en raison des champs produits par la polarisation et l’aimantation du matériau voisin; un effet qui doit également être modélisé. De plus, les matériaux réels ne sont pas des milieux continus; les champs locaux des matériaux réels varient énormément à l’échelle atomique. Les champs doivent être moyennés sur un volume approprié pour former une approximation du continuum.

Ces approximations de continuum nécessitent souvent un certain type d’analyse mécanique quantique telle que la théorie quantique des champs appliquée à la physique de la matière condensée. Voir, par exemple, la théorie fonctionnelle de la densité, les relations de Green–Kubo et la fonction de Green.

Un ensemble différent de méthodes d’homogénéisation (issues d’une tradition de traitement de matériaux tels que les conglomérats et les stratifiés) repose sur l’approximation d’un matériau inhomogène par un milieu efficace homogène (valable pour des excitations de longueurs d’onde beaucoup plus grandes que l’échelle de l’inhomogénéité).

La modélisation théorique des propriétés d’approximation du continu de nombreux matériaux réels repose souvent également sur des mesures expérimentales. Par exemple, ε d’un isolant aux basses fréquences peut être mesuré en le transformant en condensateur à plaques parallèles, et ε aux fréquences de lumière optique est souvent mesuré par ellipsométrie.

Propriétés thermoélectriques et électromagnétiques de la matière

Ces équations constitutives sont souvent utilisées en cristallographie, un domaine de la physique du solide.