Konstitutiv ligning

Rediger

i både klassisk og kvantefysikk danner den nøyaktige dynamikken i et system et sett med koblede differensialligninger, som nesten alltid er for kompliserte til å løses nøyaktig, selv på nivå med statistisk mekanikk. I sammenheng med elektromagnetisme gjelder denne bemerkningen ikke bare dynamikken til frie ladninger og strømmer (som går Direkte inn I Maxwells ligninger), men også dynamikken til bundne ladninger og strømmer (som går Inn I Maxwells ligninger gjennom de konstitutive relasjonene). Som et resultat blir ulike tilnærmingsordninger vanligvis brukt.

for eksempel, i ekte materialer, må komplekse transportligninger løses for å bestemme tid og romlig respons av ladninger, for eksempel Boltzmann–ligningen eller Fokker–Planck-ligningen eller Navier-Stokes-ligningene. For eksempel, se magnetohydrodynamikk, væskedynamikk, elektrohydrodynamikk, superledningsevne, plasmamodellering. Et helt fysisk apparat for å håndtere disse sakene har utviklet seg. Se for eksempel lineær responsteori, Grønn-Kubo-relasjoner og Greens funksjon(mange – kroppsteori).

disse komplekse teoriene gir detaljerte formler for de konstitutive relasjonene som beskriver den elektriske responsen til ulike materialer, som permittiviteter, permeabiliteter, ledningsevne og så videre.

det er nødvendig å spesifisere forholdet Mellom forskyvningsfelt D Og E, og det magnetiske h-feltet H Og B, før du gjør beregninger i elektromagnetisme (dvs.bruk Av Maxwells makroskopiske ligninger). Disse ligningene angir responsen av bundet ladning og strøm til de anvendte feltene og kalles konstitutive relasjoner.

Bestemmelse av det konstitutive forholdet Mellom hjelpefeltene D Og H og e-og b-feltene starter med definisjonen av hjelpefeltene selv:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Før du kommer til hvordan du beregner M Og P, er det nyttig å undersøke følgende spesielle tilfeller.

uten magnetiske eller dielektriske materialerediger

i fravær av magnetiske eller dielektriske materialer er de konstitutive relasjonene enkle:

d = ε 0 e, H = b / μ 0 {\displaystyle \mathbf {d} =\varepsilon _{0}\mathbf {E},\;\;\; \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

hvor ε og Μ er to universelle konstanter, kalt permittiviteten til fritt rom og permeabiliteten til fritt Rom, henholdsvis.

Isotrope lineære materialerrediger

i et (isotrope) lineært materiale, Hvor P er proporsjonal Med E, Og M er proporsjonal Med B, er de konstitutive relasjonene også enkle. Når det gjelder polariseringen P og magnetiseringen m er de:

p = ε 0 χ e E, M = χ m h, {\displaystyle \ mathbf {P} = \ varepsilon _{0} \ chi _{e} \ mathbf {E},\;\;\; \ mathbf {m} =\chi _{m} \ mathbf {H},}

hvor xe og xm er de elektriske og magnetiske følsomhetene til et gitt materiale henholdsvis. Når Det Gjelder D og H, er de konstitutive relasjonene:

d = ε E, H = b / μ, {\displaystyle\mathbf {D} = \ varepsilon \mathbf {E},\;\;\; \ mathbf {H} =\mathbf {B} / \ mu,}

der ε og μ er konstanter (som avhenger av materialet), henholdsvis kalt materialets permittivitet og permeabilitet. Disse er relatert til følsomhetene ved:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , ĩ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Generelle caseEdit

For real-world materialer, det første forholdet er ikke lineær, med unntak av ca. Beregning av konstitutive relasjoner fra første prinsipper innebærer å bestemme hvordan P Og M er opprettet Fra en gitt E Og B. Disse relasjonene kan være empiriske (basert direkte på målinger), eller teoretiske (basert på statistisk mekanikk, transportteori eller andre verktøy for kondensert materiefysikk). Detalj ansatt kan være makroskopisk eller mikroskopisk, avhengig av nivået som er nødvendig for problemet under gransking.

generelt kan de konstitutive relasjonene vanligvis fortsatt skrives:

d = ε E , h = μ − 1 b {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1} \ mathbf {B} }

men ε og μ er generelt ikke enkle konstanter, men snarere Funksjoner Av E, B, posisjon og tid og tensorial i naturen. Eksempler er:

• Dispersjon og absorpsjon der ε og μ er frekvensfunksjoner. (Kausalitet tillater ikke materialer å være ikke-dispersive; se For Eksempel Kramers-Kronig relasjoner.) Feltene trenger heller ikke å være i fase, noe som fører til at ε og μ blir komplekse. Dette fører også til absorpsjon.
• Ikke-Linearitet der ε og μ er Funksjoner Av E Og B.
• Anisotropy (for eksempel birefringence eller dichroism) som oppstår når ε og μ er andre-rank tensors,

D i = ∑ j ε jeg j E j B i = ∑ μ j i j H j . {\displaystyle D_ {i}= \ sum _{j} \ varepsilon _{ij}E_ {j}\;\;\; B_{i}= \ sum _{j} \ mu _ {ij}H_{j}.}

• Avhengighet Av P og M på E og B på andre steder og tider. Dette kan skyldes romlig inhomogenitet; for eksempel i en domained struktur, heterostruktur eller en flytende krystall, eller oftest i situasjonen der det bare er flere materialer som opptar forskjellige romområder. Eller det kan skyldes en tid varierende medium eller på grunn av hysterese. I slike tilfeller S og M kan beregnes som:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}} t’\;{\hat {\chi}} _{m} (\mathbf {r}, \mathbf {r}’, t,t’;\mathbf {r}’, t,t’; \mathbf {r} B})\, \mathbf {b} (\mathbf {r}’, t’),} hvor permittiviteten og permeabilitetsfunksjonene erstattes av integraler over de mer generelle elektriske og magnetiske susceptibilities. I homogene materialer er avhengighet av andre steder kjent som romlig dispersjon.

Som en variant av disse eksemplene, er det generelt materialer er bianisotropic der D og B er avhengig av både E og H, gjennom den ekstra kopling konstanter ξ og ζ:

D = ε E + ξ H , B = ĩ H + ζ E . {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {e} +\xi \ mathbf {H} \, \quad \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H} +\zeta \ mathbf {E} .}

i praksis har noen materialegenskaper en ubetydelig innvirkning i spesielle tilfeller, noe som tillater forsømmelse av små effekter. For eksempel: optiske ikke-lineariteter kan bli neglisjert for lave feltstyrker; material dispersjon er ubetydelig når frekvensen er begrenset til en smal båndbredde; materialabsorpsjon kan forsømmes for bølgelengder som et materiale er gjennomsiktig for; og metaller med endelig ledningsevne er ofte tilnærmet ved mikrobølgeovn eller lengre bølgelengder som perfekte metaller med uendelig ledningsevne (danner harde barrierer med null dybdeskarphet av feltpenetrasjon).

noen menneskeskapte materialer som metamaterialer og fotoniske krystaller er designet for å ha tilpasset permittivitet og permeabilitet.

Beregning av konstitutive relasjonerrediger

den teoretiske beregningen av et materials konstitutive ligninger er en vanlig, viktig og noen ganger vanskelig oppgave i teoretisk kondensert materiefysikk og materialvitenskap. Generelt er de konstitutive ligningene teoretisk bestemt ved å beregne hvordan et molekyl reagerer på de lokale feltene gjennom Lorentz-kraften. Andre krefter må kanskje modelleres så vel som gittervibrasjoner i krystaller eller bindingskrefter. Inkludert alle kreftene fører til endringer i molekylet som brukes til å beregne P og M som en funksjon av de lokale feltene.

de lokale feltene skiller seg fra de anvendte feltene på grunn av feltene produsert av polarisering og magnetisering av nærliggende materiale; en effekt som også må modelleres. Videre er ekte materialer ikke kontinuerlige medier; de lokale feltene av ekte materialer varierer vilt på atomskalaen. Feltene må være i gjennomsnitt over et passende volum for å danne en kontinuum tilnærming.

disse kontinuum tilnærmelser krever ofte noen form for kvantemekanisk analyse som kvantefeltteori som brukes på kondensert materie fysikk. Se for eksempel tetthet funksjonell teori, Grønn-Kubo relasjoner Og Greens funksjon.

et annet sett med homogeniseringsmetoder (som utvikler seg fra en tradisjon i behandling av materialer som konglomerater og laminater) er basert på tilnærming av et inhomogent materiale med et homogent effektivt medium (gyldig for excitasjoner med bølgelengder mye større enn omfanget av inhomogeniteten).

den teoretiske modelleringen av kontinuum-tilnærmingsegenskapene til mange virkelige materialer er ofte avhengig av eksperimentell måling også. For eksempel kan en isolator med lave frekvenser måles ved å gjøre den til en parallellplatekondensator, og ε ved optisk lysfrekvenser måles ofte ved ellipsometri.

Termoelektriske og elektromagnetiske egenskaper av matterEdit

disse konstitutive ligningene brukes ofte i krystallografi, et felt av faststofffysikk.