Constitutieve vergelijking

Edit

in zowel de klassieke als de kwantumfysica vormt de precieze dynamica van een systeem een verzameling gekoppelde differentiaalvergelijkingen, die bijna altijd te ingewikkeld zijn om precies te worden opgelost, zelfs op het niveau van de statistische mechanica. In de context van elektromagnetisme geldt deze opmerking niet alleen voor de dynamica van vrije ladingen en stromen (die direct in Maxwell ‘s vergelijkingen komen), maar ook voor de dynamica van gebonden ladingen en stromen (die Maxwell’ s vergelijkingen invoeren via de constitutieve relaties). Als gevolg hiervan worden meestal verschillende benaderingsschema ‘ s gebruikt.In reële materialen moeten bijvoorbeeld complexe transportvergelijkingen worden opgelost om de tijd–en ruimtelijke respons van ladingen te bepalen, bijvoorbeeld de Boltzmannvergelijking, de fokker–Planckvergelijking of de Navier-Stokesvergelijkingen. Zie bijvoorbeeld magnetohydrodynamica, vloeistofdynamica, elektrohydrodynamica, supergeleiding, plasmamodellering. Er is een heel fysiek apparaat ontwikkeld om met deze zaken om te gaan. Zie bijvoorbeeld de lineaire responstheorie, Green-Kubo relaties en Green ‘ s function (many-body theory).

deze complexe theorieën verschaffen gedetailleerde formules voor de constitutieve relaties die de elektrische respons van verschillende materialen beschrijven, zoals permittiviteit, permeabiliteit, geleidbaarheid, enzovoort.

het is noodzakelijk de relatie tussen verplaatsingsveld D en E en het magnetische h-veld H en B te specificeren alvorens berekeningen in elektromagnetisme uit te voeren (d.w.z. de macroscopische vergelijkingen van Maxwell toe te passen). Deze vergelijkingen specificeren de respons van gebonden lading en stroom op de toegepaste velden en worden constitutieve relaties genoemd.

het bepalen van de constitutieve relatie tussen de hulpvelden D en H en de velden E en B begint met de definitie van de hulpvelden zelf:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Voordat u begint met het berekenen van M en P is het nuttig om de volgende speciale gevallen te onderzoeken.

zonder magnetische of diëlektrische materialenedit

bij afwezigheid van magnetische of diëlektrische materialen zijn de constitutieve relaties eenvoudig:

D = ε 0 E, H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E},\;\;\; \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

waarbij ε0 en μ0 zijn twee universele constanten, die respectievelijk de permittiviteit van de vrije ruimte en de permeabiliteit van de vrije ruimte worden genoemd.

isotrope lineaire materialenedit

In een (isotroop) lineair materiaal, waarbij P evenredig is met E en M evenredig is met B, zijn de constitutieve relaties ook eenvoudig. In termen van de polarisatie P en de magnetisering M zijn ze:

P = ε 0 χ e E , M = χ M H , {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

waarbij xe en xm respectievelijk de elektrische en magnetische gevoeligheid van een bepaald materiaal zijn. In termen van D en H zijn de constitutieve relaties:

d = ε E , H =B / μ , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} = \mathbf {B} /\mu ,}

waarin ε En μ constanten zijn (die afhankelijk zijn van het materiaal), respectievelijk de permittiviteit en permeabiliteit van het materiaal genoemd. Deze zijn gerelateerd aan de gevoeligheden door:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

materialen, de constitutieve relaties zijn niet lineair, behalve bij benadering. Het berekenen van de constitutieve relaties uit de eerste principes impliceert het bepalen hoe P en M worden gemaakt uit een gegeven E en B. Deze relaties kunnen empirisch zijn (direct gebaseerd op metingen), of theoretisch (gebaseerd op statistische mechanica, transporttheorie of andere instrumenten van de fysica van de gecondenseerde materie). Het gebruikte detail kan macroscopisch of microscopisch zijn, afhankelijk van het niveau dat nodig is voor het onderzochte probleem.

over het algemeen kunnen de constitutieve relaties nog steeds geschreven worden:

D = ε E, H = μ − 1 B {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1} \ mathbf {B} }

maar ε en μ zijn in het algemeen geen eenvoudige constanten, maar functies van E, B, positie en tijd, en tensorieel van aard. Voorbeelden zijn:

• dispersie en absorptie waarbij ε En μ frequentiefuncties zijn. (Causaliteit staat niet toe dat materialen niet dispersief zijn; zie, bijvoorbeeld, Kramers-Kronig relaties.) De velden hoeven ook niet in fase te zijn, waardoor ε En μ complex zijn. Dit leidt ook tot absorptie.
• niet-lineariteit waarbij ε En μ functies zijn van E en B.
• anisotropie (zoals tweebreking of dichroïsme) die optreedt wanneer ε en μ tweederangs tensoren zijn,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j μ I j H j . {\displaystyle D_{i}= \ sum _{j} \ varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\; B_{i} = \sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}

• afhankelijkheid van P en M van E en B op andere locaties en tijden. Dit kan te wijten zijn aan ruimtelijke inhomogeniteit; bijvoorbeeld in een overheerste structuur, heterostructuur of een vloeibaar kristal, of meestal in de situatie waar er gewoon meerdere materialen zijn die verschillende gebieden van de ruimte bezetten. Of het kan te wijten zijn aan een tijd variërend medium of als gevolg van hysterese. In dergelijke gevallen P en M kan worden berekend als:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ c ^ e ( r , r’ ,, t, t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ c ^ m ( r , r’ ,, t, t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ‘,t’),} waarin de permittiviteit en permeabiliteit functies worden vervangen door de integralen over de meer algemene elektrische en magnetische vatbaarheid. In homogene materialen staat afhankelijkheid van andere locaties bekend als ruimtelijke dispersie.

als variatie op deze voorbeelden zijn de materialen in het algemeen bianisotroop, waarbij D en B afhankelijk zijn van zowel E als H, door de extra koppelingsconstanten ξ En ζ:

D = ε E + ξ H , B = μ h + ζ E . {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} +\xi \mathbf {H}\,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H} + \ zeta \ mathbf {E} .}

in de praktijk hebben sommige materiaaleigenschappen in bepaalde omstandigheden een verwaarloosbaar effect, waardoor kleine effecten verwaarloosbaar zijn. Bijvoorbeeld: optische niet-lineariteiten kunnen worden verwaarloosd voor lage veldsterktes; materiaaldispersie is onbelangrijk wanneer de frequentie beperkt is tot een smalle bandbreedte; materiaalabsorptie kan worden verwaarloosd voor golflengten waarvoor een materiaal transparant is; en metalen met eindige geleidbaarheid worden vaak benaderd bij microgolfgolven of langere golflengten als perfecte metalen met oneindige geleidbaarheid (die harde barrières vormen met nul velddiepte penetratie van de huid).

sommige door de mens gemaakte materialen zoals metamaterialen en fotonische kristallen zijn ontworpen om aangepaste permeabiliteit en permeabiliteit te hebben.

berekening van constitutieve relatiedit

de theoretische berekening van constitutieve vergelijkingen van een materiaal is een veel voorkomende, belangrijke en soms moeilijke taak in de theoretische fysica van de gecondenseerde materie en de materiaalwetenschap. In het algemeen worden de constitutieve vergelijkingen theoretisch bepaald door te berekenen hoe een molecuul reageert op de lokale velden door de lorentzkracht. Andere krachten moeten mogelijk ook gemodelleerd worden, zoals roostertrillingen in kristallen of bindkrachten. Met inbegrip van alle krachten leidt tot veranderingen in de molecule die worden gebruikt om P en M als functie van de lokale gebieden te berekenen.

de lokale velden verschillen van de toegepaste velden vanwege de velden die worden geproduceerd door de polarisatie en magnetisatie van nabijgelegen materiaal; een effect dat ook moet worden gemodelleerd. Verder zijn echte materialen geen continue media; de lokale velden van echte materialen variëren enorm op atomaire schaal. De velden moeten worden gemiddeld over een geschikt volume om een continuüm benadering te vormen.Deze continuümbenaderingen vereisen vaak een soort kwantummechanische analyse, zoals de kwantumveldentheorie zoals toegepast op de fysica van de gecondenseerde materie. Zie bijvoorbeeld dichtheidsfunctionaliteitstheorie, Green-Kubo relaties en Green ‘ S functie.

een andere reeks homogeniseringsmethoden (voortkomend uit een traditie in de behandeling van materialen zoals conglomeraten en laminaten) is gebaseerd op de benadering van een inhomogeen materiaal door een homogeen effectief medium (geldig voor excitaties met golflengten die veel groter zijn dan de schaal van de inhomogeniteit).

de theoretische modellering van de continuüm-benaderingseigenschappen van veel reële materialen berust vaak ook op experimentele metingen. Bijvoorbeeld, ε van een isolator bij lage frequenties kan worden gemeten door het te maken in een parallel-plaat condensator, en ε bij optisch – licht frequenties wordt vaak gemeten door ellipsometrie.

Thermo-elektrische en elektromagnetische eigenschappen van matterEdit

deze constitutieve vergelijkingen worden vaak gebruikt in de kristallografie, een gebied van de vastestoffysica.