Ecuația constitutivă

Edit

atât în fizica clasică, cât și în cea cuantică, dinamica precisă a unui sistem formează un set de ecuații diferențiale cuplate, care sunt aproape întotdeauna prea complicate pentru a fi rezolvate exact, chiar și la nivelul mecanicii statistice. În contextul electromagnetismului, această remarcă se aplică nu numai dinamicii sarcinilor și curenților liberi (care intră direct în ecuațiile lui Maxwell), ci și dinamicii sarcinilor și curenților legați (care intră în ecuațiile lui Maxwell prin relațiile constitutive). Ca urmare, sunt utilizate de obicei diferite scheme de aproximare.

de exemplu, în materiale reale, ecuațiile complexe de transport trebuie rezolvate pentru a determina timpul și răspunsul spațial al sarcinilor, de exemplu, ecuația Boltzmann sau ecuația Fokker–Planck sau ecuațiile Navier–Stokes. De exemplu, a se vedea magnetohidrodinamica, dinamica fluidelor, electrohidrodinamica, superconductivitatea, modelarea plasmei. S-a dezvoltat un întreg aparat fizic pentru tratarea acestor probleme. A se vedea, de exemplu, teoria răspunsului liniar, relațiile Green–Kubo și funcția lui Green (teoria multor corpuri).

aceste teorii complexe oferă formule detaliate pentru relațiile constitutive care descriu răspunsul electric al diferitelor materiale, cum ar fi permisivitățile, permeabilitățile, conductivitățile și așa mai departe.

este necesar să se precizeze relațiile dintre câmpul de deplasare D și E și câmpul magnetic H-H și B, înainte de a face calcule în electromagnetism (adică aplicarea ecuațiilor macroscopice ale lui Maxwell). Aceste ecuații specifică răspunsul sarcinii și curentului legat la câmpurile aplicate și se numesc relații constitutive.

determinarea relației constitutive dintre câmpurile auxiliare D și H și câmpurile E și B începe cu definirea câmpurilor auxiliare în sine:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Înainte de a ajunge la modul de calculare a M și P, este util să examinați următoarele cazuri speciale.

fără materiale magnetice sau dielectriceedit

în absența materialelor magnetice sau dielectrice, relațiile constitutive sunt simple:

D = 0 E , H = B / 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

unde sunt două constante universale, numite permitivitatea spațiului liber și respectiv permeabilitatea spațiului liber.

materiale liniare Izotropeedit

într-un material liniar (izotrop), unde P este proporțional cu E și M este proporțional cu B, relațiile constitutive sunt, de asemenea, simple. În ceea ce privește polarizarea P și magnetizarea M , acestea sunt:

p = 0, 0, {\displaystyle \mathbf {p} = \varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {e},\;\;\; \mathbf {m} =\chi _{m}\mathbf {H},}

unde xe și xm sunt susceptibilitățile electrice și magnetice ale material respectiv. În ceea ce privește D și H, relațiile constitutive sunt:

D = ε E , H = B / μ , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}

unde ε și μ sunt constante (care depinde de material), numită permitivitatea și permeabilitatea, respectiv, a materialului. Acestea sunt legate de susceptibilitățile prin:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

General caseEdit

Pentru lumea reală materiale, relatii constitutive nu sunt liniare, cu excepția aproximativ. Calculul relațiilor constitutive din primele principii implică determinarea modului în care P și M sunt create dintr-un e și B dat. Aceste relații pot fi empirice (bazate direct pe măsurători) sau teoretice (bazate pe mecanica statistică, teoria transportului sau alte instrumente ale fizicii materiei condensate). Detaliile utilizate pot fi macroscopice sau microscopice, în funcție de nivelul necesar problemei examinate.

în general, relațiile constitutive pot fi, de obicei, încă scrise:

D = E, H = 1 B {\displaystyle \mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {e} ,\;\;\;\ mathbf {H} = \ mu ^{-1} \ mathbf {B} }

dar nu sunt, în general, simple constante, ci mai degrabă funcții de E, B, poziție și timp și tensoriale în natură. Exemple sunt:

• dispersie și absorbție în cazul în care funcțiile de frecvență sunt de la SEC. (Cauzalitatea nu permite materialelor să fie nedispersive; a se vedea, de exemplu, relațiile Kramers–Kronig.) Nici câmpurile nu trebuie să fie în fază, ceea ce duce la complexitatea dintre sec. Acest lucru duce, de asemenea, la absorbție.
• neliniaritate, în cazul în care funcțiile E și B sunt de la:
• Anizotropie (cum ar fi birefringența sau dicroismul) care apare atunci când ε și μ sunt de rangul doi tensori,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j μ i j H j . {\displaystyle D_{i} = \ sum _{J}\varepsilon _{ij}E_{j}\;\; B_{i}=\sum _{j}\mu _ {IJ}H_{j}.}

• dependența P și M de E și B în alte locații și ore. Acest lucru s-ar putea datora neomogenității spațiale; de exemplu într-o structură dominată, heterostructură sau a cristal lichid, sau cel mai frecvent în situația în care există pur și simplu mai multe materiale care ocupă diferite regiuni ale spațiului. Sau s-ar putea datora unui mediu care variază în timp sau datorită histerezisului. În astfel de cazuri P și M poate fi calculată ca:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {b} (\mathbf {R} ‘,T’),} în care funcțiile de permitivitate și permeabilitate sunt înlocuite de integrale peste susceptibilitățile electrice și magnetice mai generale. În materialele omogene, dependența de alte locații este cunoscută sub numele de dispersie spațială.

Ca o abatere de la aceste exemple, în general, materialele sunt bianisotropic unde D și B depind atât E și H, prin suplimentare constante de cuplaj ξ și ζ:

D = ε E + ξ H , B = μ H + ζ E . {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} + \ xi \ mathbf {H}\, \ quad \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H} + \ zeta \ mathbf {E} .}

în practică, unele proprietăți ale materialelor au un impact neglijabil în anumite circumstanțe, permițând neglijarea efectelor mici. De exemplu: neliniaritățile optice pot fi neglijate pentru rezistențe reduse ale câmpului; dispersia materialului nu este importantă atunci când frecvența este limitată la o lățime de bandă îngustă; absorbția materialului poate fi neglijată pentru lungimile de undă pentru care un material este transparent; iar metalele cu conductivitate finită sunt adesea aproximate la microunde sau lungimi de undă mai lungi ca metale perfecte cu conductivitate infinită (formând bariere dure cu adâncimea zero a pielii de penetrare a câmpului).

unele materiale artificiale, cum ar fi metamaterialele și cristalele fotonice, sunt concepute pentru a avea permitivitate și permeabilitate personalizate.

calculul relațiilor constitutiveedit

calculul teoretic al ecuațiilor constitutive ale unui material este o sarcină comună, importantă și uneori dificilă în fizica teoretică a materiei condensate și știința materialelor. În general, ecuațiile constitutive sunt determinate teoretic prin calcularea modului în care o moleculă răspunde câmpurilor locale prin forța Lorentz. Este posibil să fie nevoie să fie modelate și alte forțe, cum ar fi vibrațiile rețelei în cristale sau forțele de legătură. Includerea tuturor forțelor duce la modificări ale moleculei care sunt utilizate pentru a calcula P și M în funcție de câmpurile locale.

câmpurile locale diferă de câmpurile aplicate datorită câmpurilor produse de polarizarea și magnetizarea materialului din apropiere; un efect care trebuie, de asemenea, modelat. Mai mult, materialele reale nu sunt medii continue; câmpurile locale ale materialelor reale variază sălbatic la scara atomică. Câmpurile trebuie să fie mediate pe un volum adecvat pentru a forma o aproximare continuum.

aceste aproximări continuum necesită adesea un anumit tip de analiză mecanică cuantică, cum ar fi teoria câmpului cuantic aplicată fizicii materiei condensate. A se vedea, de exemplu, teoria funcțională a densității, relațiile Green–Kubo și funcția lui Green.

un set diferit de metode de omogenizare (evoluând dintr-o tradiție în tratarea materialelor precum conglomerate și laminate) se bazează pe aproximarea unui material neomogen printr-un mediu eficient omogen (valabil pentru excitații cu lungimi de undă mult mai mari decât scara neomogenității).

modelarea teoretică a proprietăților de aproximare continuă a multor materiale reale se bazează adesea și pe măsurători experimentale. De exemplu, un izolator la frecvențe joase poate fi măsurat prin transformarea acestuia într-un condensator cu plăci paralele, iar un izolator la frecvențe optice este adesea măsurat prin elipsometrie.

proprietățile termoelectrice și electromagnetice ale materiei

aceste ecuații constitutive sunt adesea folosite în cristalografie, un domeniu al fizicii în stare solidă.