Konstitutiv ligning

Rediger

i både klassisk og kvantefysik danner den præcise dynamik i et system et sæt koblede differentialligninger, som næsten altid er for komplicerede til at blive løst nøjagtigt, selv på niveau med statistisk mekanik. I forbindelse med elektromagnetisme gælder denne bemærkning ikke kun dynamikken i gratis ladninger og strømme (som direkte kommer ind i Maksels ligninger), men også dynamikken i bundne ladninger og strømme (som kommer ind i Maksels ligninger gennem de konstitutive relationer). Som et resultat anvendes typisk forskellige tilnærmelsesordninger.

for eksempel i virkelige materialer skal komplekse transportligninger løses for at bestemme tid og rumlig respons af ladninger, for eksempel Boltsmann–ligningen eller Fokker–Planck-ligningen eller Navier-Stokes-ligningerne. Se for eksempel magnetohydrodynamik, væskedynamik, elektrohydrodynamik, superledningsevne, plasmamodellering. Et helt fysisk apparat til at håndtere disse spørgsmål har udviklet sig. Se for eksempel lineær responsteori, Green–Kubo-relationer og greens funktion (mange-kropsteori).

disse komplekse teorier giver detaljerede formler for de konstitutive relationer, der beskriver den elektriske respons af forskellige materialer, såsom permittiviteter, permeabiliteter, ledningsevne og så videre.

det er nødvendigt at specificere forholdet mellem forskydningsfelt D og E og det magnetiske h-felt H og B, inden der foretages beregninger i elektromagnetisme (dvs.anvendelse af Maksels makroskopiske ligninger). Disse ligninger angiver svaret på bundet ladning og strøm til de anvendte felter og kaldes konstitutive relationer.

bestemmelse af det konstitutive forhold mellem hjælpefelterne D og H og E-og B-felterne starter med definitionen af selve hjælpefelterne:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Før du kommer til, hvordan man beregner M og P, er det nyttigt at undersøge følgende særlige tilfælde.

uden magnetiske eller dielektriske materialerrediger

i fravær af magnetiske eller dielektriske materialer er de konstitutive forhold enkle:

D = l 0 E, H = B / L 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E},\;\;\; \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

hvor kr0 og KR0 er to universelle konstanter, kaldet permittiviteten af frit rum og permeabilitet af frit rum, henholdsvis.

isotrope lineære materialerredit

i et (isotrop) lineært materiale, hvor P er proportional med E, og M er proportional med B, er de konstitutive forhold også ligetil. Med hensyn til polarisering P og magnetisering M er de:

P = list 0 list E E, M = list m H, {\displaystyle \ mathbf {P} = \ varepsilon _{0} \ chi _ {e} \ mathbf {E},\;\;\; \ mathbf {M} =\chi _{m} \ mathbf {H},}

hvor List og List er de elektriske og magnetiske følsomheder af en givet materiale henholdsvis. Med hensyn til D og H er de konstitutive forbindelser:

D = List E , H = B / list , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}

hvor List og List er konstanter (som afhænger af materialet), kaldet permittivitet og permeabilitet, henholdsvis af materialet. Disse er relateret til følsomheden ved:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , m / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Generelt caseEdit

For den virkelige verdens materialer, de konstitutive relationer er ikke lineær, bortset fra ca. Beregning af de konstitutive relationer ud fra de første principper indebærer at bestemme, hvordan P og M oprettes ud fra en given E og B. Disse forhold kan være empiriske (baseret direkte på målinger) eller teoretiske (baseret på statistisk mekanik, transportteori eller andre værktøjer til kondenseret materiefysik). Den anvendte detalje kan være makroskopisk eller mikroskopisk, afhængigt af det niveau, der er nødvendigt for det undersøgte problem.

generelt kan de konstitutive forhold normalt stadig skrives:

D = prit E , H = prit-1 B {\displaystyle \ mathbf {D} =\varepsilon \ mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1} \ mathbf {B} }

men prisT og prisT er generelt ikke enkle konstanter, men snarere funktioner af E, B, position og tid og tensorial karakter. Eksempler er:

• Dispersion og absorption, hvor Chr og Chr er frekvensfunktioner. (Kausalitet tillader ikke materialer at være ikke-dispersive; se for eksempel Kramers–Kronig relationer.) Felterne behøver heller ikke at være i fase, hvilket fører til, at kursist og kursist er komplekse. Dette fører også til absorption.
• ikke-linearitet, hvor kr. og KR. er funktioner af E og B.
• Anisotropi (såsom dobbeltbrydning eller dichroism), som opstår, når ε og m er af anden rang tensors,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j μ jeg j H j . {\displaystyle D_{i}= \ sum _{j} \ varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\; B_{i}= \ sum _{j} \ mu _{ij}H_{j}.}

• afhængighed af P og M på E og B på andre steder og tidspunkter. Dette kan skyldes rumlig inhomogenitet; for eksempel i en domineret struktur, heterostruktur eller en flydende krystal eller oftest i den situation, hvor der simpelthen er flere materialer, der besætter forskellige rumområder. Eller det kan skyldes et tidsvarierende medium eller på grund af hysterese. I sådanne tilfælde er S og M kan beregnes som:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\v {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ‘,t’),} hvor permittivitet og permeabilitetsfunktioner erstattes af integraler over de mere generelle elektriske og magnetiske følsomheder. I homogene materialer er afhængighed af andre steder kendt som rumlig dispersion.

Som en variation af disse eksempler, i almindelige materialer er bianisotropic hvor D og B afhænger både E og H, gennem yderligere kobling konstanter ξ og ζ:

D = ε E + ξ T , B = μ H + ζ E . {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} + \ ‘s \ mathbf {H} \, \’ S \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {H} + \ ‘ S \ mathbf {E} .}

i praksis har nogle materialegenskaber en ubetydelig indvirkning under særlige omstændigheder, hvilket tillader forsømmelse af små effekter. For eksempel: optiske nonlineariteter kan overses for lave feltstyrker; materialedispersion er ubetydelig, når frekvensen er begrænset til en smal båndbredde; materialeabsorption kan overses for bølgelængder, for hvilke et materiale er gennemsigtigt; og metaller med endelig ledningsevne tilnærmes ofte ved mikrobølgeovn eller længere bølgelængder som perfekte metaller med uendelig ledningsevne (danner hårde barrierer med nul huddybde af feltindtrængning).

nogle menneskeskabte materialer såsom metamaterialer og fotoniske krystaller er designet til at have tilpasset permittivitet og permeabilitet.

beregning af konstitutive relationerrediger

den teoretiske beregning af et materiales konstitutive ligninger er en almindelig, vigtig og undertiden vanskelig opgave inden for teoretisk kondenseret materiefysik og materialevidenskab. Generelt bestemmes de konstitutive ligninger teoretisk ved at beregne, hvordan et molekyle reagerer på de lokale felter gennem Lorentsen. Andre kræfter skal muligvis modelleres såvel som gittervibrationer i krystaller eller bindingskræfter. Inklusive alle kræfterne fører til ændringer i molekylet, som bruges til at beregne P og M som en funktion af de lokale felter.

de lokale felter adskiller sig fra de anvendte felter på grund af felterne produceret ved polarisering og magnetisering af nærliggende materiale; en effekt, som også skal modelleres. Endvidere er virkelige materialer ikke kontinuerlige medier; de lokale felter af virkelige materialer varierer vildt på atomskalaen. Felterne skal beregnes i gennemsnit over et passende volumen for at danne en kontinuumtilnærmelse.

disse kontinuum tilnærmelser kræver ofte en form for kvantemekanisk analyse såsom kvantefeltteori som anvendt på kondenseret materiefysik. Se for eksempel tæthed funktionel teori, grøn–Kubo relationer og greens funktion.

et andet sæt homogeniseringsmetoder (der udvikler sig fra en tradition i behandling af materialer såsom konglomerater og laminater) er baseret på tilnærmelse af et inhomogent materiale med et homogent effektivt medium (gyldigt til Ophidselser med bølgelængder, der er meget større end omfanget af inhomogeniteten).

den teoretiske modellering af kontinuum-tilnærmelsesegenskaberne for mange virkelige materialer er ofte også afhængige af eksperimentel måling. For eksempel kan en isolators Larsen ved lave frekvenser måles ved at gøre den til en parallelpladekondensator, og Larsen ved optiske lysfrekvenser måles ofte ved ellipsometri.

termoelektriske og elektromagnetiske egenskaber af materieredit

disse konstitutive ligninger anvendes ofte i krystallografi, et felt af solid state fysik.