Equazione costitutiva

Modifica

sia In fisica classica e quantistica, la precisa dinamica di un sistema formare un set di equazioni differenziali accoppiate, che sono quasi sempre troppo complicate per essere risolto esattamente, anche a livello di meccanica statistica. Nel contesto dell’elettromagnetismo, questa osservazione si applica non solo alla dinamica delle cariche e delle correnti libere (che entrano direttamente nelle equazioni di Maxwell), ma anche alla dinamica delle cariche e delle correnti legate (che entrano nelle equazioni di Maxwell attraverso le relazioni costitutive). Di conseguenza, vengono in genere utilizzati vari schemi di approssimazione.

Ad esempio, nei materiali reali, devono essere risolte equazioni di trasporto complesse per determinare il tempo e la risposta spaziale delle cariche, ad esempio l’equazione di Boltzmann o l’equazione di Fokker–Planck o le equazioni di Navier–Stokes. Ad esempio, vedi magnetoidrodinamica, fluidodinamica, elettroidrodinamica, superconduttività, modellazione al plasma. Si è sviluppato un intero apparato fisico per affrontare queste questioni. Vedi ad esempio, teoria della risposta lineare, relazioni di Green–Kubo e funzione di Green (teoria dei molti corpi).

Queste teorie complesse forniscono formule dettagliate per le relazioni costitutive che descrivono la risposta elettrica di vari materiali, come permittività, permeabilità, conduttività e così via.

È necessario specificare le relazioni tra il campo di spostamento D ed E, e il campo magnetico H-H e B, prima di eseguire calcoli in elettromagnetismo (cioè applicando le equazioni macroscopiche di Maxwell). Queste equazioni specificano la risposta della carica e della corrente legate ai campi applicati e sono chiamate relazioni costitutive.

Determinare la relazione costitutiva tra i campi ausiliari D e H e i campi E e B inizia con la definizione dei campi ausiliari stessi:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Prima di arrivare a come calcolare M e P è utile esaminare i seguenti casi speciali.

Senza banda magnetica o dielettrici materialsEdit

In assenza di un campo magnetico o di materiali dielettrici, le relazioni costitutive sono semplici:

D = ε 0 E H = B / µ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

dove ε0 e μ0 sono due costanti universali, chiamato la costante dielettrica di spazio libero e permeabilità dello spazio libero, rispettivamente.

Materiali lineari isotropicimodifica

In un materiale lineare (isotropico), dove P è proporzionale a E e M è proporzionale a B, anche le relazioni costitutive sono semplici. In termini di polarizzazione P e la magnetizzazione M sono:

P = ε 0 c e e , M = c m H , {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

dove xe e xm sono elettrici e magnetici suscettibilità di un dato materiale, rispettivamente. In termini di D e H le relazioni costitutive sono:

D = ε E , H =B / μ , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} = \mathbf {B} /\mu ,}

dove ε e μ sono costanti (che dipendono dal materiale), chiamate rispettivamente permittività e permeabilità del materiale. Questi sono legati alla suscettibilità di:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Caso generalemodifica

Per i materiali del mondo reale, le relazioni costitutive non sono lineari, tranne approssimativamente. Calcolare le relazioni costitutive dai primi principi implica determinare come P e M sono creati da un dato E e B. Queste relazioni possono essere empiriche (basate direttamente su misurazioni) o teoriche (basate su meccanica statistica, teoria dei trasporti o altri strumenti della fisica della materia condensata). Il dettaglio impiegato può essere macroscopico o microscopico, a seconda del livello necessario al problema in esame.

In generale, le relazioni costitutive di solito possono ancora essere scritte:

D = ε E, H = μ – 1 B {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} ,\;\;\;\ mathbf {H} = \ mu ^ {-1} \ mathbf {B}}

ma ε e μ non sono, in generale, semplici costanti, ma piuttosto funzioni di E, B, posizione e tempo e tensoriale in natura. Esempi sono:

• Dispersione e assorbimento dove ε e μ sono funzioni di frequenza. (La causalità non consente ai materiali di essere non dispersivi; vedi, ad esempio, le relazioni Kramers–Kronig.) Né i campi devono essere in fase, il che porta a ε e μ ad essere complessi. Questo porta anche all’assorbimento.
• Non Linearità dove ε e μ sono funzioni di E e B.
• Anisotropia (come birifrangenza o dicroismo) che si verifica quando ε e μ sono tensori di secondo rango,

D i = j j ε i j E j B i = j j μ i j H j . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

• Dipendenza di P e M da E e B in altri luoghi e orari. Ciò potrebbe essere dovuto alla disomogeneità spaziale; ad esempio in una struttura domained, eterostruttura o un cristallo liquido, o più comunemente nella situazione in cui ci sono semplicemente più materiali che occupano diverse regioni dello spazio. Oppure potrebbe essere dovuto a un mezzo variabile nel tempo oa causa di isteresi. In tali casi P e M può essere calcolato come:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ c ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 µ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ c ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ‘,t’),} in cui la costante dielettrica e la permeabilità funzioni sono state sostituite da integrali più generale elettrici e magnetici suscettibilità. Nei materiali omogenei, la dipendenza da altre posizioni è nota come dispersione spaziale.

Come variazione di questi esempi, in generale i materiali sono bianisotropici dove D e B dipendono sia da E che da H, attraverso le costanti di accoppiamento aggiuntive ξ e ζ:

D = ε E + ξ H , B = μ H + ζ E . {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} + \ xi \ mathbf {H}\,, \ quad \ mathbf {B} = \mu\mathbf {H} +\zeta \ mathbf {E}.}

In pratica, alcune proprietà dei materiali hanno un impatto trascurabile in circostanze particolari, consentendo di trascurare piccoli effetti. Ad esempio: le non linearità ottiche possono essere trascurate per basse intensità di campo; la dispersione del materiale non è importante quando la frequenza è limitata a una larghezza di banda ristretta; l’assorbimento del materiale può essere trascurato per lunghezze d’onda per le quali un materiale è trasparente; e i metalli con conduttività finita spesso sono approssimati a microonde o lunghezze d’onda più lunghe come metalli perfetti con conducibilità infinita (formando barriere dure con profondità di

Alcuni materiali artificiali come metamateriali e cristalli fotonici sono progettati per avere permittività e permeabilità personalizzate.

Calcolo delle relazioni costitutivemodifica

Il calcolo teorico delle equazioni costitutive di un materiale è un compito comune, importante e talvolta difficile nella fisica teorica della materia condensata e nella scienza dei materiali. In generale, le equazioni costitutive sono teoricamente determinate calcolando come una molecola risponde ai campi locali attraverso la forza di Lorentz. Altre forze possono avere bisogno di essere modellati come pure come vibrazioni reticolo in cristalli o forze di legame. L’inclusione di tutte le forze porta a cambiamenti nella molecola che vengono utilizzati per calcolare P e M in funzione dei campi locali.

I campi locali differiscono dai campi applicati a causa dei campi prodotti dalla polarizzazione e magnetizzazione del materiale vicino; un effetto che deve anche essere modellato. Inoltre, i materiali reali non sono mezzi continui; i campi locali dei materiali reali variano selvaggiamente sulla scala atomica. I campi devono essere mediati su un volume adatto per formare un’approssimazione continuum.

Queste approssimazioni di continuum spesso richiedono un certo tipo di analisi meccanica quantistica come la teoria quantistica dei campi applicata alla fisica della materia condensata. Vedi, ad esempio, la teoria funzionale della densità, le relazioni di Green–Kubo e la funzione di Green.

Un diverso insieme di metodi di omogeneizzazione (che si evolvono da una tradizione nel trattamento di materiali come conglomerati e laminati) si basa sull’approssimazione di un materiale disomogeneo da parte di un mezzo efficace omogeneo (valido per eccitazioni con lunghezze d’onda molto più grandi della scala della disomogeneità).

La modellazione teorica delle proprietà di approssimazione continua di molti materiali reali spesso si basa anche sulla misurazione sperimentale. Ad esempio, ε di un isolante alle basse frequenze può essere misurato trasformandolo in un condensatore a piastra parallela, e ε alle frequenze di luce ottica viene spesso misurato con ellissometria.

Proprietà termoelettriche ed elettromagnetiche di matterEdit

Queste equazioni costitutive sono spesso utilizzate nella cristallografia, un campo della fisica dello stato solido.