Równanie konstytutywne

Edytuj

zarówno w fizyce klasycznej, jak i kwantowej, precyzyjna dynamika układu tworzy zbiór sprzężonych równań różniczkowych, które prawie zawsze są zbyt skomplikowane, aby je dokładnie rozwiązać, nawet na poziomie mechaniki statystycznej. W kontekście elektromagnetyzmu uwaga ta dotyczy nie tylko dynamiki wolnych ładunków i prądów (które wchodzą bezpośrednio do równań Maxwella), ale także dynamiki związanych ładunków i prądów (które wchodzą do równań Maxwella poprzez relacje konstytutywne). W rezultacie zazwyczaj stosuje się różne schematy przybliżania.

na przykład w materiałach rzeczywistych należy rozwiązać złożone równania transportu, aby określić czas i odpowiedź przestrzenną ładunków, na przykład równanie Boltzmanna lub równanie Fokkera–Plancka lub równania Naviera–Stokesa. Zobacz np. magnetohydrodynamikę, dynamikę płynów, elektrohydrodynamikę, nadprzewodnictwo, modelowanie plazmowe. Rozwinął się cały aparat fizyczny do radzenia sobie z tymi sprawami. Zobacz na przykład teorię odpowiedzi liniowej, relacje Green–Kubo i funkcję Greena (teoria wielu ciał).

te złożone teorie dostarczają szczegółowych formuł konstytutywnych relacji opisujących reakcję elektryczną różnych materiałów, takich jak przenikalność, przenikalność, przewodzenie i tak dalej.

przed wykonaniem obliczeń w zakresie elektromagnetyzmu (np. stosując równania makroskopowe Maxwella) konieczne jest określenie relacji między polem przemieszczenia D i E, A polem magnetycznym H I B. Równania te określają reakcję wiązanego ładunku i prądu na zastosowane pola i nazywane są relacjami konstytutywnymi.

określenie konstytutywnej zależności między polami pomocniczymi D I H oraz polami E i B zaczyna się od definicji samych pól pomocniczych:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Przed przejściem do sposobu obliczania M I P przydatne jest zbadanie następujących szczególnych przypadków.

bez materiałów magnetycznych lub dielektrycznychedit

w przypadku braku materiałów magnetycznych lub dielektrycznych relacje konstytutywne są proste:

D = ε 0 E, H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E},\;\; \mathbf {h} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

gdzie ε0 i μ0 to dwie uniwersalne stałe, zwane odpowiednio przenikalnością wolnej przestrzeni i przenikalnością wolnej przestrzeni.

izotropowe materiały linioweedit

w (izotropowym) materiale liniowym, gdzie P jest proporcjonalne do E, A M jest proporcjonalne do B, relacje konstytutywne są również proste. Pod względem polaryzacji P i namagnesowania M są to:

P = ε 0 χ E E , M = χ M H , {\displaystyle \mathbf {p} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {m} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

gdzie xe i xm są wrażliwościami elektrycznymi i magnetycznymi danego materiał odpowiednio. Pod względem D I H stosunki konstytutywne są:

D = ε E, H =B /μ , {\displaystyle \mathbf {d} =\varepsilon \mathbf {e} ,\;\;\;\mathbf {H} = \mathbf {B} / \mu ,}

gdzie ε i μ są stałymi (które zależą od materiału), nazywanymi odpowiednio przenikalnością i przepuszczalnością materiału. Są one związane z podatnością na:

ε / ε 0 = ε r = ( χ E + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{E}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

dla materiałów rzeczywistych relacje konstytutywne nie są linearne, z wyjątkiem ok. Obliczanie relacji konstytutywnych z pierwszych zasad polega na określeniu sposobu tworzenia P I M z danego E I B. Relacje te mogą być empiryczne (oparte bezpośrednio na pomiarach) lub teoretyczne (oparte na mechanice statystycznej, teorii transportu lub innych narzędziach fizyki materii skondensowanej). Zastosowany szczegół może być makroskopowy lub mikroskopowy, w zależności od poziomu niezbędnego do badanego problemu.

ogólnie rzecz biorąc, relacje konstytutywne mogą być nadal zapisywane:

D = ε e, h = μ-1 B {\displaystyle \mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1} \ mathbf {B} }

ale ε i μ nie są na ogół prostymi stałymi, ale raczej funkcjami E, B, pozycji i czasu oraz tensorialnymi w naturze. Przykładami są:

• Dyspersja i absorpcja, gdzie ε i μ są funkcjami częstotliwości. (Przyczynowość nie pozwala na to, aby materiały były niedyspersyjne; zob. np. relacje Kramers-Kronig.) Pola też nie muszą być w fazie, co prowadzi do zespolenia ε i μ. Prowadzi to również do wchłaniania.
• Nieliniowość, gdzie ε i μ są funkcjami E I B.
• anizotropia (taka jak dwójłomność lub dichroizm), która występuje, gdy ε i μ są tensorami drugiego rzędu,

D i = ∑ J ε I J E J B i = ∑ J μ I J H j . {\displaystyle D_{i} = \ sum _{j} \ varepsilon _{ij} E_{j}\;\;\; B_{i} = \sum _{j} \ mu _ {ij} H_{j}.

• zależność P I M od E i B w innych miejscach i czasie. Może to być spowodowane przestrzenną niejednorodnością; na przykład w strukturze domulowanej, heterostrukturze lub ciekłym krysztale, lub najczęściej w sytuacji, gdy istnieje po prostu wiele materiałów zajmujących różne regiony przestrzeni. Albo może to być spowodowane zmiennością czasu lub histerezą. W takich przypadkach P I M można obliczyć jako:

P ( R , t ) = ε 0 ∫ d 3 R ‘D T’ χ ^ E ( r , r ‘, t , T ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {p} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\RM {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}T’\;{\Hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ‘,T,T’;\mathbf {e} )\,\mathbf {E} (\mathbf {R} ‘,T’)} M ( R , T ) = 1 μ 0 ∫ d 3 R ‘D T’ χ ^ M ( R , R ‘ , T , T ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\RM {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {R} ‘,T’),} w którym funkcje przenikalności i przepuszczalności są zastępowane całkami nad ogólniejszymi wrażliwościami elektrycznymi i magnetycznymi. W materiałach jednorodnych zależność od innych lokalizacji jest znana jako dyspersja przestrzenna.

jako odmiana tych przykładów, ogólnie materiały są bianisotropowe, gdzie D I B zależą zarówno od E, jak i H , poprzez dodatkowe stałe sprzężenia ξ i ζ:

D = ε e + ξ H, B = μ h + ζ e . {\displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} + \ xi \ mathbf {H} \,, \ quad \ mathbf {B} = \ mu \mathbf {H} +\zeta \ mathbf {E} .

w praktyce niektóre właściwości materiałów mają znikomy wpływ w określonych okolicznościach, umożliwiając zaniedbanie niewielkich efektów. Na przykład: nieliniowości optyczne można pominąć w przypadku niskich natężeń pola; dyspersja materiału jest nieistotna, gdy częstotliwość jest ograniczona do wąskiej szerokości pasma; absorpcja materiału może być zaniedbana w przypadku długości fal, dla których materiał jest przezroczysty; a metale o skończonej przewodności często są przybliżane w mikrofali lub dłuższych długościach fal jako metale doskonałe o nieskończonej przewodności (tworząc twarde bariery z zerową penetracją głębi pola skóry).

niektóre materiały sztuczne, takie jak metamateriały i kryształy fotoniczne, są zaprojektowane tak, aby miały dostosowaną przenikalność i przepuszczalność.

Obliczanie relacji konstytutywnych

teoretyczne obliczanie równań konstytutywnych materiału jest powszechnym, ważnym i czasami trudnym zadaniem w teoretycznej fizyce materii skondensowanej i materiałoznawstwie. Ogólnie rzecz biorąc, równania konstytutywne są teoretycznie ustalane przez obliczenie, w jaki sposób cząsteczka reaguje na pola lokalne za pomocą siły Lorentza. Konieczne może być również modelowanie innych sił, takich jak drgania sieci w kryształach lub siły wiązania. Włączenie wszystkich sił prowadzi do zmian w cząsteczce, które są wykorzystywane do obliczania P I M w funkcji pól lokalnych.

pola lokalne różnią się od pól stosowanych ze względu na pola wytwarzane przez polaryzację i namagnesowanie pobliskiego materiału; efekt, który również wymaga modelowania. Co więcej, materiały rzeczywiste nie są mediami ciągłymi; lokalne pola materiałów rzeczywistych różnią się znacznie w skali atomowej. Pola muszą być uśrednione na odpowiedniej objętości, aby utworzyć aproksymację continuum.

te aproksymacje kontinuum często wymagają pewnego rodzaju kwantowej analizy mechanicznej, takiej jak kwantowa teoria pola stosowana w fizyce materii skondensowanej. Zobacz na przykład teorię funkcji gęstości, relacje Green-Kubo i funkcję Greena.

inny zestaw metod homogenizacji (ewoluujący z tradycji w obróbce materiałów takich jak konglomeraty i laminaty) opiera się na przybliżaniu niejednorodnego materiału przez jednorodne efektywne medium (ważne dla wzbudzeń o długościach fal znacznie większych niż skala niejednorodności).

teoretyczne modelowanie właściwości aproksymacji kontinuum wielu rzeczywistych materiałów często opiera się również na pomiarach eksperymentalnych. Na przykład ε izolatora przy niskich częstotliwościach można zmierzyć, przekształcając go w Kondensator równoległoboczny, a ε przy częstotliwościach światła optycznego jest często mierzone za pomocą elipsometrii.

właściwości termoelektryczne i elektromagnetyczne materii

te równania konstytutywne są często używane w krystalografii, dziedzinie fizyki ciała stałego.