Constitutivo equação

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Em ambos os clássica e a física quântica, a exata dinâmica de um sistema formam um conjunto acoplado de equações diferenciais, que são quase sempre muito complicado para ser resolvido exatamente, mesmo a nível de mecânica estatística. No contexto do electromagnetismo, esta observação aplica-se não só à dinâmica das cargas e correntes livres (que entram directamente nas equações de Maxwell), mas também à dinâmica das cargas e correntes ligadas (que entram nas equações de Maxwell através das relações constitutivas). Como resultado, vários esquemas de aproximação são tipicamente usados.Por exemplo, em materiais reais, equações de transporte complexas devem ser resolvidas para determinar o tempo e a resposta espacial das cargas, por exemplo, a equação de Boltzmann ou a equação de Fokker–Planck ou as equações de Navier–Stokes. For example, see magnetohidrodynamics, fluid dynamics, electroidynamics, superconductivity, plasma modeling. Desenvolveu-se todo um aparelho físico para lidar com estas questões. Veja por exemplo, teoria da resposta linear, relações Green–Kubo e função de Green (teoria de muitos corpos).

estas teorias complexas fornecem fórmulas detalhadas para as relações constitutivas descrevendo a resposta elétrica de vários materiais, tais como permittividades, permeabilidades, condutividade e assim por diante.

é necessário especificar as relações entre o campo de deslocamento D E E, e o campo magnético H E B, antes de fazer cálculos no eletromagnetismo (isto é, aplicando as equações macroscópicas de Maxwell). Estas equações especificam a resposta de carga encadeada e corrente para os campos aplicados e são chamadas de relações constitutivas.

determinar a relação constitutiva entre os campos auxiliares D E H e os campos e E B começa com a definição dos próprios campos auxiliares:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Antes de chegar a como calcular M E P é útil examinar os seguintes casos especiais.

Sem magnético ou dielétrico materialsEdit

Na ausência de magnético ou materiais dielétricos, constitutivo de relações são simples:

D = ε 0 E , H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

onde ε0 e μ0 são duas constantes universais, chamado a permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre, respectivamente.

materiais lineares isotrópicos edit

em um material linear (isotrópico), onde P é proporcional A E, E M é proporcional a B, as relações constitutivas também são diretas. Em termos da polarização P, e a magnetização M são eles:

P = ε 0 χ e e , M = χ m H , {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

onde xe e xm são os elétricos e magnéticos susceptibilidades de um dado material, respectivamente. Em termos de D E H, as relações constitutivas são:

D = ε E , H = B / m , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu}

onde ε e μ são constantes (que dependem do material), chamado a permissividade e a permeabilidade, respectivamente, do material. Estes estão relacionados com as susceptibilidades por:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Geral caseEdit

Para o mundo real materiais, constitutivo de relações não são lineares, exceto aproximadamente. Calcular as relações constitutivas a partir dos primeiros princípios envolve determinar como P E M são criados a partir de um dado E E B. Estas relações podem ser empíricas (baseadas diretamente em medições), ou teóricas (baseadas em Mecânica Estatística, Teoria dos transportes ou outras ferramentas da física da matéria condensada). O detalhe empregado pode ser macroscópico ou microscópico, dependendo do nível necessário para o problema em exame.

em geral, as relações constitutivas podem ainda ser escritas:

D = ε E , H = μ – 1 b {\displaystyle \mathbf {d} = \varepsilon \mathbf {e} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }}

mas ε e μ não são, em geral, constantes simples, mas sim funções de E, B, posição e tempo, e tensorial na natureza. Os exemplos são::

• dispersão e absorção onde ε e μ São funções de frequência. (Causality does not permit to materials to be nondispersive; see, for example, Kramers–Kronig relations.) Nem os campos precisam estar em fase, o que leva a ε e μ serem complexos. Isto também leva à absorção.
• Nonlinearidade em que ε e μ São funções de E E B.
• anisotropia (tal como birefringência ou dicroismo) que ocorre quando ε e μ São tensores de segundo grau,

d i = ∑ j ε i j e j b i = ∑ j μ i j h J. {\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\;B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.

• dependência de P E M em E E B noutros locais e tempos. Isto pode ser devido à inomogeneidade espacial; por exemplo, em uma estrutura dominada, heteroestrutura ou um cristal líquido, ou mais comumente na situação em que existem simplesmente Múltiplos materiais ocupando diferentes regiões do espaço. Ou pode ser devido a um meio de variação de tempo ou devido à histerese. Em tais casos, P e M pode ser calculado assim:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘e t’ c ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} \mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘e t’ c ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} \mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ‘,t’)} em que a permissividade e a permeabilidade funções são substituídos pelos integrais sobre o mais geral elétricos e magnéticos susceptibilidades. Em materiais homogêneos, a dependência de outros locais é conhecida como dispersão espacial.

como uma variação destes exemplos, em geral os materiais são bianisotrópicos onde D e B dependem de E E H, através das constantes de acoplamento adicionais ξ e ζ:

D = ε e + ξ H, B = μ H + ζ E. {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} . Na prática, algumas propriedades dos materiais têm um impacto negligenciável em circunstâncias particulares, permitindo a negligência de pequenos efeitos. Por exemplo: não-linearidade óptica pode ser negligenciada para as forças de campo baixas; dispersão material é importante quando a frequência é limitada a uma largura de banda estreita; material de absorção pode ser negligenciada para comprimentos de onda para a qual um material é transparente; e metais com condutividade finita, muitas vezes, são aproximadas no micro-ondas ou em comprimentos de onda mais longos, como perfeito metais com infinita condutividade (formando rígido barreiras com zero de pele de campo de profundidade de penetração).Alguns materiais feitos pelo homem, tais como metamateriais e cristais fotônicos, são projetados para ter permissividade e permeabilidade personalizadas.

cálculo das relações constitutivas: Eletromagnetismo computacional

O cálculo teórico de um material equações constitutivas é comum, importante, e, por vezes, tarefa difícil no teórica condensado-a matéria de física e ciência dos materiais. Em geral, as equações constitutivas são teoricamente determinadas calculando como uma molécula responde aos campos locais através da força de Lorentz. Outras forças podem precisar ser modeladas, bem como vibrações da estrutura em cristais ou forças de ligação. Incluindo todas as forças leva a mudanças na molécula que são usadas para calcular P E M em função dos campos locais.

os campos locais diferem dos campos aplicados devido aos campos produzidos pela polarização e magnetização de material próximo; um efeito que também precisa ser modelado. Além disso, os materiais reais não são meios contínuos; os campos locais de materiais reais variam muito na escala atômica. Os campos precisam ser calculados em média ao longo de um volume adequado para formar uma aproximação contínua.

estas aproximações continuum muitas vezes requerem algum tipo de análise mecânica quântica, como a teoria quântica de campos aplicada à física da matéria condensada. Veja, por exemplo, teoria funcional da densidade, relações Green–Kubo e função de Green.

um conjunto diferente de métodos de homogeneização (evoluindo de uma tradição no tratamento de materiais como conglomerados e laminados) são baseados na aproximação de um material não homogêneo por um meio homogêneo eficaz (válido para excitações com comprimentos de onda muito maiores do que a escala da inomogeneidade).

the theoretical modeling of the continuum-approximation properties of many real materials often rely upon experimental measurement as well. Por exemplo, ε de um isolador em baixas frequências pode ser medido tornando-se um capacitor de placa paralela, e ε em frequências de luz óptica é frequentemente medido por elipsometria.

propriedades termoelétricas e eletromagnéticas de matterEdit

estas equações constitutivas são frequentemente usadas em cristalografia, um campo da física do Estado Sólido.