Konstitutiv ekvation

redigera

i både klassisk och kvantfysik bildar den exakta dynamiken i ett system en uppsättning kopplade differentialekvationer, som nästan alltid är för komplicerade för att lösas exakt, även på nivå med statistisk mekanik. I samband med elektromagnetism gäller denna anmärkning inte bara dynamiken i fria laddningar och strömmar (som går in i Maxwells ekvationer direkt), utan också dynamiken i bundna laddningar och strömmar (som går in i Maxwells ekvationer genom de konstitutiva relationerna). Som ett resultat används vanligtvis olika approximationsscheman.

till exempel i verkliga material måste komplexa transportekvationer lösas för att bestämma tid och rumslig respons för laddningar, till exempel Boltzmann–ekvationen eller Fokker–Planck-ekvationen eller Navier-Stokes-ekvationerna. Se till exempel magnetohydrodynamik, vätskedynamik, elektrohydrodynamik, supraledning, plasmamodellering. En hel fysisk apparat för att hantera dessa frågor har utvecklats. Se till exempel linjär svarsteori, grön–Kubo-relationer och Greens funktion (mång-kroppsteori).

dessa komplexa teorier ger detaljerade formler för de konstitutiva relationerna som beskriver det elektriska svaret hos olika material, såsom permittivities, permeabilities, conductivities och så vidare.

det är nödvändigt att specificera relationerna mellan förskjutningsfältet D och E och det magnetiska h-fältet H och B innan man gör beräkningar i elektromagnetism (dvs. tillämpar Maxwells makroskopiska ekvationer). Dessa ekvationer anger svaret på bunden laddning och ström till de tillämpade fälten och kallas konstitutiva relationer.

bestämning av det konstitutiva förhållandet mellan hjälpfälten D och H och E-och B-fälten börjar med definitionen av hjälpfälten själva:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Innan du kommer till hur man beräknar M och P är det användbart att undersöka följande speciella fall.

utan magnetiskt eller dielektriskt materialredigera

i frånvaro av magnetiska eller dielektriska material är de konstitutiva relationerna enkla:

D = 0 oc, H = b / oc 0 {\displaystyle \mathbf {d} =\varepsilon _{0}\mathbf {e},\;\;\; \mathbf {h} =\mathbf {b} /\mu _{0}}

där 20 och 20 är två universella konstanter, kallade permittiviteten för ledigt utrymme respektive permeabilitet för ledigt utrymme.

isotropiskt linjärt materialredigera

i ett (isotropiskt) linjärt material, där P är proportionellt mot E och M är proportionellt mot B, är de konstitutiva relationerna också enkla. När det gäller polarisationen P och magnetiseringen M är de:

P = 0 0 0 e E, M = 2 0 M H, {\displaystyle\mathbf {p} = \ varepsilon _{0} \ chi _{e} \ mathbf {e},\;\;\; \ mathbf {m} =\chi _{m} \ mathbf {H},}

där xe och xm är de elektriska och magnetiska mottagligheterna för en given material respektive. När det gäller D och H är de konstitutiva relationerna:

D = 2Br E, H = B / 8864 > där 8864 är konstanter (som är beroende av materialet), så kallade materialets permittivitet respektive permeabilitet. Dessa är relaterade till känsligheten av: ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Allmänt caseEdit

För verkliga material, de konstitutiva relationerna är inte linjär, utom ca. Beräkning av konstitutiva relationer från första principer innebär att man bestämmer hur P och M skapas från en given E och B. Dessa relationer kan vara empiriska (baserade direkt på mätningar) eller teoretiska (baserade på statistisk mekanik, transportteori eller andra verktyg för kondenserad materiens fysik). Detaljerna som används kan vara makroskopiska eller mikroskopiska, beroende på den nivå som är nödvändig för problemet under granskning.

i allmänhet kan de konstitutiva relationerna vanligtvis fortfarande skrivas:

D = ätbar E, H = ätbar-1 b {\displaystyle \ mathbf {d} = \ varepsilon \ mathbf {e} ,\;\;\;\mathbf {H} = \mu ^{-1}\mathbf {B} }

men det är i allmänhet inte bara enkla konstanter, utan snarare funktioner av E, B, position och tid, och tensorial i naturen. Exempel är:

• Dispersion och absorption, där det finns funktioner av frekvens för att göra det. (Kausalitet tillåter inte material att vara icke-dispersiva; se till exempel Kramers–Kronig relationer.) Fälten behöver inte heller vara i fas, vilket leder till att det blir komplicerat att ta sig fram till att det är svårt att ta sig dit. Detta leder också till absorption.
• Ickelinjäritet där det finns funktioner för E och B.
• Anisotropi (såsom dubbelbrytande eller dichroism) som uppstår när ε och μ är andra klassens tensorer,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j m i j H j . {\displaystyle D_{i}= \ summa _{j} \ varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\; B_{i}=\summa _{j}\mu _{IJ}H_{j}.}

• beroende av P och M på E och B på andra platser och tider. Detta kan bero på rumslig inhomogenitet; till exempel i en dominerad struktur, heterostruktur eller en flytande kristall, eller oftast i situationen där det helt enkelt finns flera material som upptar olika regioner i rymden. Eller det kan bero på ett tidsvarierande medium eller på grund av Hysteres. I sådana fall S och M kan beräknas som:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t χ ^ e ( r , r’ , t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘d t χ ^ m ( r , r’ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {m} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {b} )\,\mathbf {b} (\mathbf {r} ‘,t’),} där permittivitets-och permeabilitetsfunktionerna ersätts av integraler över de mer allmänna elektriska och magnetiska känsligheterna. I homogena material är beroende av andra platser känd som rumslig dispersion.

Som en variant av dessa exempel, i allmänhet material är bianisotropic där D och B beror på både E och H, genom ytterligare koppling konstanter ξ och ζ:

D = ε E + ξ H , B = μ H + ζ E . {\displaystyle \ mathbf {D} = \varepsilon \ mathbf {e} + \ xi \ mathbf {H} \, \quad \ mathbf {B} =\mu \ mathbf {H} + \ zeta \ mathbf {e} .}

i praktiken har vissa materialegenskaper en försumbar inverkan under särskilda omständigheter, vilket möjliggör försummelse av små effekter. Till exempel: optiska olinjäriteter kan försummas för låga fältstyrkor; materialdispersion är obetydlig när frekvensen är begränsad till en smal bandbredd; materialabsorption kan försummas för våglängder för vilka ett material är transparent; och metaller med ändlig ledningsförmåga approximeras ofta vid mikrovågsugn eller längre våglängder som perfekta metaller med oändlig ledningsförmåga (bildar hårda barriärer med noll huddjup av fältpenetration).

vissa konstgjorda material som metamaterial och fotoniska kristaller är utformade för att ha Anpassad permittivitet och permeabilitet.

beräkning av konstitutiva relationerRedigera

den teoretiska beräkningen av ett materials konstitutiva ekvationer är en vanlig, viktig och ibland svår uppgift inom teoretisk kondenserade materiens fysik och materialvetenskap. I allmänhet bestäms de konstitutiva ekvationerna teoretiskt genom att beräkna hur en molekyl svarar på de lokala fälten genom Lorentz-kraften. Andra krafter kan också behöva modelleras, såsom gittervibrationer i kristaller eller bindningskrafter. Inklusive alla krafter leder till förändringar i molekylen som används för att beräkna P och M som en funktion av de lokala fälten.

de lokala fälten skiljer sig från de tillämpade fälten på grund av fälten som produceras av polarisering och magnetisering av närliggande material; en effekt som också måste modelleras. Vidare är verkliga material inte kontinuerliga medier; de lokala fälten av verkliga material varierar vildt på atomskala. Fälten måste vara i genomsnitt över en lämplig volym för att bilda en kontinuum approximation.

dessa kontinuum approximationer kräver ofta någon typ av kvantmekanisk analys såsom kvantfältteori som tillämpas på kondenserade materiens fysik. Se till exempel densitetsfunktionsteori, grön–Kubo-relationer och Greens funktion.

en annan uppsättning homogeniseringsmetoder (utvecklas från en tradition vid behandling av material som konglomerat och laminat) baseras på approximation av ett inhomogent material med ett homogent effektivt medium (giltigt för excitationer med våglängder som är mycket större än inhomogenitetsskalan).

den teoretiska modelleringen av kontinuum-approximationsegenskaperna hos många verkliga material är ofta beroende av experimentell mätning också. Till exempel kan en isolator av en isolator vid låga frekvenser mätas genom att göra den till en parallellplattkondensator, och GHz vid optiska ljusfrekvenser mäts ofta med ellipsometri.

termoelektriska och elektromagnetiska egenskaper hos matterEdit

dessa konstitutiva ekvationer används ofta i kristallografi, ett fält av fast tillståndsfysik.