Ecuación constitutiva

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En física clásica y cuántica, la dinámica precisa de un sistema forma un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas, que casi siempre son demasiado complicadas para ser resueltas exactamente, incluso a nivel de mecánica estadística. En el contexto del electromagnetismo, esta observación se aplica no solo a la dinámica de cargas y corrientes libres (que entran directamente en las ecuaciones de Maxwell), sino también a la dinámica de cargas y corrientes enlazadas (que entran en las ecuaciones de Maxwell a través de las relaciones constitutivas). Como resultado, se suelen utilizar varios esquemas de aproximación.

Por ejemplo, en materiales reales, se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker–Planck o las ecuaciones de Navier–Stokes. Por ejemplo, vea magnetohidrodinámica, dinámica de fluidos, electrohidrodinámica, superconductividad, modelado de plasma. Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, teoría de respuesta lineal, relaciones de Green-Kubo y función de Green (teoría de muchos cuerpos).

Estas complejas teorías proporcionan fórmulas detalladas para las relaciones constitutivas que describen la respuesta eléctrica de diversos materiales, como permeabilidades, conductividades, etc.

Es necesario especificar las relaciones entre el campo de desplazamiento D y E, y el campo magnético H y B, antes de hacer cálculos en electromagnetismo (es decir, aplicando las ecuaciones macroscópicas de Maxwell). Estas ecuaciones especifican la respuesta de carga y corriente enlazadas a los campos aplicados y se denominan relaciones constitutivas.

La determinación de la relación constitutiva entre los campos auxiliares D y H y los campos E y B comienza con la definición de los propios campos auxiliares:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Antes de llegar a cómo calcular M y P, es útil examinar los siguientes casos especiales.

Sin materiales magnéticos o dieléctricoseditar

En ausencia de materiales magnéticos o dieléctricos, las relaciones constitutivas son simples:

D = ε 0 E , H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

donde ε0 y μ0 son dos constantes universales, llamadas permitividad del espacio libre y permeabilidad del espacio libre, respectivamente.

Materiales lineales isótroposeditar

En un material lineal (isótropo), donde P es proporcional a E, y M es proporcional a B, las relaciones constitutivas también son directas. En términos de la polarización P y la magnetización M son:

P = ε 0 χ e e , M = χ m H , {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

donde xe y xm son los eléctricos y magnéticos susceptibilidad de un material dado, respectivamente. En términos de D y H las relaciones constitutivas son:

D = ε E, H = B / μ, {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} = \mathbf {B} /\mu ,}

donde ε y μ son constantes (que dependen del material), llamadas permitividad y permeabilidad, respectivamente, del material. Estos están relacionados con las susceptibilidades por:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , µ / µ 0 = µ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

General caseEdit

Para materiales del mundo real, el de las relaciones constitutivas no son lineales, excepto aproximadamente. El cálculo de las relaciones constitutivas a partir de los primeros principios implica determinar cómo se crean P y M a partir de una E y B dadas. Estas relaciones pueden ser empíricas (basadas directamente en mediciones) o teóricas (basadas en la mecánica estadística, la teoría del transporte u otras herramientas de la física de la materia condensada). El detalle empleado puede ser macroscópico o microscópico, dependiendo del nivel necesario para el problema bajo escrutinio.

En general, las relaciones constitutivas generalmente se pueden escribir:

D = ε E, H = μ − 1 B {\displaystyle \mathbf {D} = \varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} = \ mu ^{-1}\mathbf {B}}

pero ε y μ no son, en general, constantes simples, sino funciones de E, B, posición y tiempo, y de naturaleza tensorial. Los ejemplos son:

• Dispersión y absorción donde ε y μ son funciones de frecuencia. (La causalidad no permite que los materiales sean no dispersivos; véase, por ejemplo, las relaciones Kramers–Kronig.) Tampoco es necesario que los campos estén en fase, lo que hace que ε y μ sean complejos. Esto también conduce a la absorción.
• No linealidad donde ε y μ son funciones de E y B.
• Anisotropía (como birrefringencia o dicroísmo) que ocurre cuando ε y μ son tensores de segundo rango,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j μ i j H j . {\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\;B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.}

• Dependencia de P y M de E y B en otros lugares y horarios. Esto podría deberse a la falta de homogeneidad espacial; por ejemplo, en una estructura dominada, heteroestructura o un cristal líquido, o más comúnmente en la situación en la que simplemente hay múltiples materiales que ocupan diferentes regiones del espacio. O podría deberse a un medio que varía en el tiempo o a una histéresis. En tales casos P y M se puede calcular como:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ e ( r , r ‘, t , t ‘; E ) E ( r ‘, t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M ( r , t ) = 1 µ 0 ∫ d 3 r ‘d t’ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘, t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B} (\mathbf {r} ‘,t’),} en el que la permitividad y la permeabilidad de las funciones son reemplazadas por las integrales sobre el más general eléctrico y magnético susceptibilidades. En materiales homogéneos, la dependencia de otras ubicaciones se conoce como dispersión espacial.

Como una variación de estos ejemplos, en general los materiales son bianisotrópicos donde D y B dependen de E y H, a través de las constantes de acoplamiento adicionales ξ y ζ:

D = ε E + ξ H , B = μ H + ζ E . {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}

En la práctica, algunas propiedades de los materiales tienen un impacto insignificante en circunstancias particulares, lo que permite descuidar los efectos pequeños. Por ejemplo: las no linealidades ópticas se pueden descuidar para intensidades de campo bajas; la dispersión de material no es importante cuando la frecuencia se limita a un ancho de banda estrecho; la absorción de material se puede descuidar para longitudes de onda para las que un material es transparente; y los metales con conductividad finita a menudo se aproximan a microondas o longitudes de onda más largas como metales perfectos con conductividad infinita (formando barreras duras con una profundidad de penetración de campo cero en la piel).

Algunos materiales artificiales, como los metamateriales y los cristales fotónicos, están diseñados para tener permitividad y permeabilidad personalizadas.

Cálculo de relaciones constitutivaseditar

El cálculo teórico de las ecuaciones constitutivas de un material es una tarea común, importante y a veces difícil en la física teórica de la materia condensada y la ciencia de los materiales. En general, las ecuaciones constitutivas se determinan teóricamente calculando cómo una molécula responde a los campos locales a través de la fuerza de Lorentz. Es posible que también sea necesario modelar otras fuerzas, como las vibraciones de celosía en cristales o las fuerzas de enlace. La inclusión de todas las fuerzas conduce a cambios en la molécula que se utilizan para calcular P y M en función de los campos locales.

Los campos locales difieren de los campos aplicados debido a los campos producidos por la polarización y magnetización del material cercano; un efecto que también necesita ser modelado. Además, los materiales reales no son medios continuos; los campos locales de materiales reales varían enormemente a escala atómica. Los campos deben promediarse sobre un volumen adecuado para formar una aproximación continua.

Estas aproximaciones de continuum a menudo requieren algún tipo de análisis mecánico cuántico, como la teoría cuántica de campos aplicada a la física de la materia condensada. Véase, por ejemplo, la teoría de la densidad funcional, las relaciones de Green-Kubo y la función de Green.

Un conjunto diferente de métodos de homogeneización (que evoluciona de una tradición en el tratamiento de materiales como conglomerados y laminados) se basa en la aproximación de un material no homogéneo por un medio efectivo homogéneo (válido para excitaciones con longitudes de onda mucho mayores que la escala de la inhomogeneidad).

El modelado teórico de las propiedades de aproximación de continuo de muchos materiales reales a menudo también se basa en la medición experimental. Por ejemplo, el ε de un aislante a bajas frecuencias se puede medir convirtiéndolo en un condensador de placa paralela, y el ε a frecuencias de luz óptica a menudo se mide por elipsometría.

Propiedades termoeléctricas y electromagnéticas de la matereditar

Estas ecuaciones constitutivas se utilizan a menudo en cristalografía, un campo de la física de estado sólido.