Konstitutivgleichung

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In der klassischen Physik und in der Quantenphysik bildet die genaue Dynamik eines Systems eine Reihe gekoppelter Differentialgleichungen, die selbst auf der Ebene der statistischen Mechanik fast immer zu kompliziert sind, um genau gelöst zu werden. Im Zusammenhang mit dem Elektromagnetismus gilt diese Bemerkung nicht nur für die Dynamik freier Ladungen und Ströme (die direkt in die Maxwellschen Gleichungen eintreten), sondern auch für die Dynamik gebundener Ladungen und Ströme (die über die konstitutiven Beziehungen in die Maxwellschen Gleichungen eintreten). Infolgedessen werden typischerweise verschiedene Näherungsschemata verwendet.

Zum Beispiel müssen in realen Materialien komplexe Transportgleichungen gelöst werden, um die zeitliche und räumliche Reaktion von Ladungen zu bestimmen, zum Beispiel die Boltzmann–Gleichung oder die Fokker–Planck-Gleichung oder die Navier-Stokes-Gleichungen. Siehe zum Beispiel Magnetohydrodynamik, Fluiddynamik, Elektrohydrodynamik, Supraleitung, Plasmamodellierung. Ein ganzer physischer Apparat zur Behandlung dieser Angelegenheiten hat sich entwickelt. Siehe zum Beispiel die lineare Antworttheorie, die Green-Kubo-Relationen und die Green-Funktion (Vielteilchentheorie).

Diese komplexen Theorien liefern detaillierte Formeln für die konstitutiven Beziehungen, die die elektrische Reaktion verschiedener Materialien beschreiben, wie Permittivitäten, Permeabilitäten, Leitfähigkeiten und so weiter.

Es ist notwendig, die Beziehungen zwischen dem Verschiebungsfeld D und E und dem magnetischen H-Feld H und B zu spezifizieren, bevor Berechnungen im Elektromagnetismus durchgeführt werden (d. H. Maxwells makroskopische Gleichungen anwenden). Diese Gleichungen geben die Reaktion von gebundener Ladung und Strom auf die angelegten Felder an und werden als konstitutive Beziehungen bezeichnet.

Die Bestimmung der konstitutiven Beziehung zwischen den Hilfsfeldern D und H und den Feldern E und B beginnt mit der Definition der Hilfsfelder selbst:

D ( r , t ) = ε 0 E ( r , t ) + P ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)} H ( r , t ) = 1 μ 0 B ( r , t ) − M ( r , t ) , {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),}

where P is the polarization field and M is the magnetization field which are defined in terms of microscopic bound charges and bound current respectively. Bevor Sie mit der Berechnung von M und P beginnen, sollten Sie die folgenden Sonderfälle untersuchen.

Ohne magnetische oder dielektrische Materialienbearbeiten

In Abwesenheit von magnetischen oder dielektrischen Materialien sind die konstitutiven Beziehungen einfach:

D = ε 0 E , H = B / μ 0 {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}}

wobei ε0 und μ0 zwei universelle Konstanten sind, die als Permittivität des freien Raums bzw.

Isotrope lineare Materialienbearbeiten

In einem (isotropen) linearen Material, in dem P proportional zu E und M proportional zu B ist, sind die konstitutiven Beziehungen ebenfalls einfach. In Bezug auf die Polarisation P und die Magnetisierung M sind sie:

P = ε 0 χ e E , M = χ m H , {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,}

wobei xe und xm die elektrischen bzw. magnetischen Suszeptibilitäten eines gegebenen Materials sind. In Bezug auf D und H sind die konstitutiven Beziehungen:

D = ε E , H = B / μ , {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu ,}

wobei ε und μ Konstanten sind (die vom Material abhängen), die als Permittivität bzw. Permeabilität des Materials bezeichnet werden. Diese beziehen sich auf die Anfälligkeiten durch:

ε / ε 0 = ε r = ( χ e + 1 ) , μ / μ 0 = μ r = ( χ m + 1 ) {\displaystyle \varepsilon /\varepsilon _{0}=\varepsilon _{r}=(\chi _{e}+1),\quad \mu /\mu _{0}=\mu _{r}=(\chi _{m}+1)}

Allgemeiner Fallbearbeiten

Für reale Materialien sind die konstitutiven Beziehungen nicht linear, außer ungefähr. Die Berechnung der konstitutiven Beziehungen aus den ersten Prinzipien beinhaltet die Bestimmung, wie P und M aus einem gegebenen E und B erzeugt werden. Diese Beziehungen können empirisch (basierend auf Messungen) oder theoretisch (basierend auf statistischer Mechanik, Transporttheorie oder anderen Werkzeugen der Physik der kondensierten Materie) sein. Das verwendete Detail kann makroskopisch oder mikroskopisch sein, abhängig von dem für das untersuchte Problem erforderlichen Niveau.

Im Allgemeinen können die konstitutiven Beziehungen normalerweise noch geschrieben werden:

D = ε E , H = μ – 1 B {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\;\;\;\mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B} }

aber ε und μ sind im Allgemeinen keine einfachen Konstanten, sondern Funktionen von E, B, Position und Zeit und tensoriell in der Natur. Beispiele sind:

• Dispersion und Absorption, wobei ε und μ Frequenzfunktionen sind. (Kausalität erlaubt nicht, dass Materialien nichtdispersiv sind; siehe zum Beispiel Kramers-Kronig-Beziehungen.) Die Felder müssen auch nicht in Phase sein, was dazu führt, dass ε und μ komplex sind. Dies führt auch zur Absorption.
• Nichtlinearität, wobei ε und μ Funktionen von E und B sind.
• Anisotropie (wie Doppelbrechung oder Dichroismus), die auftritt, wenn ε und μ Tensoren zweiten Ranges sind,

D i = ∑ j ε i j E j B i = ∑ j μ i j H j. {\displaystyle D_{i}=\Summe _{j}\varepsilon _{ij}E_{j}\;\;\;B_{i}=\Summe _{j}\mu _{ij}H_{j}.}

• Abhängigkeit von P und M von E und B an anderen Orten und zu anderen Zeiten. Dies könnte auf räumliche Inhomogenität zurückzuführen sein; zum Beispiel in einer domänen Struktur, Heterostruktur oder einem Flüssigkristall, oder am häufigsten in der Situation, wo es einfach mehrere Materialien gibt, die verschiedene Regionen des Raumes einnehmen. Oder es könnte an einem zeitlich variierenden Medium oder an einer Hysterese liegen. In solchen Fällen können P und M berechnet werden als:

P ( r , t ) = ε 0 ∫ d 3 r ‘ d t ‘ χ ^ e ( r , r ‘ , t , t ‘ ; E ) E (r ‘ , t ‘ ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\; {\hut {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {E} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ‘,t’)} M (r , t) = 1 μ 0 ∫ d 3 r ‘ d t ‘ χ ^ m ( r , r ‘ , t , t ‘ ; B ) B ( r ‘ , t ‘ ) , {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} ‘{\rm {d}}t’\;{\hat {\chi }}_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ‘,t,t’;\mathbf {B} )\,\mathbf {B } (\mathbf {r} ‘, t’),} in dem die Permittivitäts- und Permeabilitätsfunktionen durch Integrale über die allgemeineren elektrischen und magnetischen Suszeptibilitäten ersetzt werden. In homogenen Materialien wird die Abhängigkeit von anderen Orten als räumliche Dispersion bezeichnet.

Als Variation dieser Beispiele sind Materialien im Allgemeinen bianisotrop, wobei D und B sowohl von E als auch von H abhängen, durch die zusätzlichen Kopplungskonstanten ξ und ζ:

D = ε E + ξ H, B = μ H + ζ E. {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .}

In der Praxis haben einige Materialeigenschaften unter bestimmten Umständen einen vernachlässigbaren Einfluss, so dass kleine Effekte vernachlässigt werden können. Zum Beispiel: Optische Nichtlinearitäten können bei niedrigen Feldstärken vernachlässigt werden; die Materialdispersion ist unwichtig, wenn die Frequenz auf eine schmale Bandbreite begrenzt ist; Die Materialabsorption kann für Wellenlängen vernachlässigt werden, für die ein Material transparent ist; und Metalle mit endlicher Leitfähigkeit werden oft bei Mikrowellen- oder längeren Wellenlängen als perfekte Metalle mit unendlicher Leitfähigkeit angenähert (bilden harter Barrieren mit null Hautfeldtiefe Penetration).

Einige künstliche Materialien wie Metamaterialien und photonische Kristalle sind so konzipiert, dass sie eine individuelle Permittivität und Permeabilität aufweisen.

Berechnung der konstitutiven Relationenbearbeiten

Die theoretische Berechnung der konstitutiven Gleichungen eines Materials ist eine häufige, wichtige und manchmal schwierige Aufgabe in der theoretischen Physik der kondensierten Materie und der Materialwissenschaft. Im Allgemeinen werden die konstitutiven Gleichungen theoretisch bestimmt, indem berechnet wird, wie ein Molekül auf die lokalen Felder durch die Lorentzkraft reagiert. Möglicherweise müssen auch andere Kräfte modelliert werden, z. B. Gitterschwingungen in Kristallen oder Bindungskräfte. Die Einbeziehung aller Kräfte führt zu Veränderungen im Molekül, die zur Berechnung von P und M als Funktion der lokalen Felder verwendet werden.

Die lokalen Felder unterscheiden sich von den angelegten Feldern durch die Felder, die durch die Polarisation und Magnetisierung von nahegelegenem Material erzeugt werden; ein Effekt, der ebenfalls modelliert werden muss. Darüber hinaus sind reale Materialien keine kontinuierlichen Medien; Die lokalen Felder realer Materialien variieren stark auf atomarer Ebene. Die Felder müssen über ein geeignetes Volumen gemittelt werden, um eine Kontinuumsannäherung zu bilden.

Diese Kontinuumsannäherungen erfordern oft eine Art quantenmechanische Analyse wie die Quantenfeldtheorie, wie sie auf die Physik der kondensierten Materie angewendet wird. Siehe zum Beispiel Dichtefunktionaltheorie, Green-Kubo-Beziehungen und Green-Funktion.

Verschiedene Homogenisierungsmethoden (die aus einer Tradition bei der Behandlung von Materialien wie Konglomeraten und Laminaten hervorgehen) basieren auf der Annäherung eines inhomogenen Materials an ein homogenes wirksames Medium (gültig für Anregungen mit Wellenlängen, die viel größer sind als das Ausmaß der Inhomogenität).

Die theoretische Modellierung der Kontinuums-Approximationseigenschaften vieler realer Materialien beruht oft auch auf experimentellen Messungen. Zum Beispiel kann ε eines Isolators bei niedrigen Frequenzen gemessen werden, indem er in einen Parallelplattenkondensator umgewandelt wird, und ε bei optischen Lichtfrequenzen wird häufig durch Ellipsometrie gemessen.

Thermoelektrische und elektromagnetische Eigenschaften der Materiebearbeiten

Diese konstitutiven Gleichungen werden häufig in der Kristallographie, einem Gebiet der Festkörperphysik, verwendet.